Электротехника - Цепи синусоидального тока

Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

Ток и напряжение при последовательном соединении резистивного, индукционого и емкостного элементов

Пусть в ветви (рис. 6.8), состоящей из последовательно соединенных элементов r, L и С, т. е. в последовательном контуре или rLC-цепи, известен ток

 

i=Imsin(wt+yi).

 

Выясним, каковы напряжения на отдельных элементах и на входе.

 

 

На основании второго закона Кирхгофа Резистор (идеальное активное сопротивление)

 

ur+uL+uC=u,  (6.13)

где

ur=ri=rImsin(wt+yi); (6.14)

 

uL=Ldi/dt=wLImcos(wt+yi)=wLImsin(wt+yi+p/2); (6.15)

 

. (6.16)

 

Постоянная интегрирования в выражении для uC принята равной нулю, так как в установившемся режиме, как уже указывалось, напряжение на любом участке цепи синусоидальное.

Из полученных выражений для ur, uL, и uC видно, что напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол p/2, а напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол p/2.

На рис. 6.9 показаны кривые мгновенных значений тока и напряжений в случае, если амплитуда напряжения на индуктивности wLIm больше амплитуды напряжения на емкости Im/wС и yi>0. Синусоида ur совпадает по фазе с синусоидой тока, а синусоиды uL, и uC сдвинуты относительно синусоиды тока на угол p/2 соответственно влево (опережение) и вправо (отставание). Таким образом, напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол p (находятся в противофазе).

Ординаты кривой напряжения

 

u=Umsin(wt+yu)

 

согласно (6.13) равны алгебраической сумме ординат кривых ur, uL, и uC.

Определение напряжения u сводится к вычислению амплитуды Um и начальной фазы yu, которые могут быть найдены непосредственным суммированием трех синусоидальных функций времени ur, uL, и uC с последующими тригонометрическими преобразованиями. Однако, как указывалось, проще всего задача решается комплексным методом.

Запишем комплексный ток и комплексные напряжения на основании выражений для их мгновенных значений:

 

; (6.17)

 

; (6.18)

 

; (6.19)

 

; (6.20)

 

. (6.21)

 

В выражениях для UL. и UC учтено, что

 

ejp/2=cos(p/2)+jsin(p/2)=j, e‑jp/2=cos(‑p/2)+jsin(‑p/2)=‑j=1/j.

 

Сопоставив выражения для мгновенных напряжений uL, и uC (6.15), (6.16) с комплексными напряжениями UL и UC (6.19), (6.20), можно установить простое правило перехода от производной и интеграла синусоидальной функции времени к изображающим их комплексным величинам: синусоидальная функция заменяется изображающей ее комплексной величиной, дифференцирование заменяется умножением на jw а интегрирование — делением на jw.

Сумме синусоидальных напряжений (6.13) соответствует сумма изображающих их векторов или комплексных действующих напряжений:

 

Ur+UL+UC=U.  (6.22)

 

Это соотношение представляет собой уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное в комплексной или векторной форме; оно представлено на векторной диаграмме (рис. 6.10). Напряжение ur совпадает по фазе с током i, поэтому вектор Ur направлен одинаково с вектором I. Напряжение uL опережает по фазе i на p/2, поэтому вектор UL сдвинут относительно вектора I на угол p/2 вперед (против часовой стрелки). Напряжение uC отстает по фазе от i на p/2, поэтому вектор UC сдвинут относительно вектора I на угол p/2 назад (по часовой стрелке).

 

 

Соображения о взаимном расположении векторов напряжения и тока непосредственно следует и из записи выражений комплексных напряжений Ur, UL, UC. Вектор Ur (6.18) получается умножением I на действительную величину r. Аргумент комплексной величины rI такой же, как и комплексного тока I, поэтому направление вектора Ur совпадает с направлением вектора I. Вектор UL (6.19) получается умножением I на jwL. Умножение тока I на действительную величину wL не изменяет аргумента, а умножение на j=еjp/2 увеличивает аргумент на p/2. Следовательно, вектор UL повернут относительно вектора I на угол p/2 «вперед». Вектор UC (6.20) получается делением I на jwС. Деление комплексной величины на wС не изменяет аргумента, а деление на j, что равносильно умножению на ‑j=е-jp/2, уменьшает аргумент на p/2. Следовательно, вектор UC повернут относительно вектора I на угол p/2 «назад».

Так как умножение и деление вектора на j приводят к повороту вектора на p/2 соответственно «вперед» и «назад», то множитель j называют оператором поворота на p/2.

Сложив векторы Ur, UL и UC, получим вектор U. Его длина определяет действующее напряжение , а положение относительно координатных осей — начальную фазу yu.

Решим ту же задачу аналитически. Теперь уравнение (6.22) будем рассматривать как соотношение между комплексными числами. Подставив в него значения комплексных напряжений, получим

 

rI+jwLI+I/(jwС)=U

или

U={r+j[wL‑1/(wС)]}I.  (6.23а)

 

Это соотношение между комплексным напряжением и током называют законом Ома в комплексной форме. Записав комплексные величины в показательной форме, получим

, (6.236)

где

. (6.23в)

 

Так как  и , то .

 

Таким образом, амплитуда Um и начальная фаза yu напряжения на выводах контура определены и можно записать выражение для мгновенного напряжения:

 

u=Umsin(wt+yi+j). (6.24)

 

В заключение отметим, что уравнение для комплексных токов и напряжений и векторные диаграммы взаимно связаны. Уравнения можно рассматривать как запись геометрических суммирований векторов, выполняемых на векторной диаграмме, и, наоборот, векторную диаграмму можно рассматривать как графическое представление соотношений между комплексными величинами в уравнении.

[an error occurred while processing this directive]

Инженерная графика

 

Сопромат