Граф электрической цепи к некоторые его подграфы

Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

 

С понятием дерева связаны понятия главных контуров и главных сечений.

Главным контуром называют контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи. Другими словами, при соединении любой ветви связи с деревом образуется главный контур.

Главным сечением считают сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева. Каждая ветвь дерева позволяет образовать одно главное сечение.

Для любого выбранного дерева можно образовать свою систему главных контуров и сечений. При этом характерно, что каждый такой контур и каждое сечение будут отличаться от других хотя бы одной ветвью.

На рис. 2.10 и 2.11 показаны главные контуры и сечения, построенные на основе одного из деревьев графа рис. 2.6. Ветви дерева 4—9—7—6—8 отмечены более жирными линиями. Главные контуры (пронумерованы римскими цифрами) образуются ветвями 1—4—9—7—6 (I); 2—8—7‑6 (II); 3—4—9—8 (III); 5—7—9 (IV). Главные сечения содержат ветви 4—1—3 (S1); 6—1‑2 (S2); 7—1—5—2 (S3); 8—2—3 (S4); 9—1—5—3 (S5).

 

 

Число главных контуров равно числу ветвей связи (к), а число главных сечений — числу ветвей дерева (д).

§ 2.2. Законы Кирхгофа

 

 

На рис. 2.10 и 2.11 показаны главные контуры и сечения, построенные на основе одного из деревьев графа рис. 2.6. Ветви дерева 4—9—7—6—8 отмечены более жирными линиями. Главные контуры (пронумерованы римскими цифрами) образуются ветвями 1—4—9—7—6 (I); 2—8—7‑6 (II); 3—4—9—8 (III); 5—7—9 (IV). Главные сечения содержат ветви 4—1—3 (S1); 6—1‑2 (S2); 7—1—5—2 (S3); 8—2—3 (S4); 9—1—5—3 (S5).

Первый закон Кирхгофа (равенство (1.12)) справедливо для любого узла или сечения; второй закон Кирхгофа (равенство (1.16)) справедливо для любого контура. Суммирование выполняется для всех ветвей, сходящихся в узле (пересекаемых замкнутой поверхностью) или образующих контур.

Уравнения законов Кирхгофа (1.12) и (1.16) не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоят ветви. Это топологические соотношения, которые могут быть составлены по графу цепи или по ее схеме. В дальнейшем при составлении уравнений цепи считается, что направление ветви графа, указанное стрелкой, совпадает с выбранным положительным направлением тока и напряжения ветви схемы (положительные направления тока и напряжения принимаются совпадающими).

В качестве примера можно составить уравнения по законам Кирхгофа для схемы на рис. 2.3, граф которой с указанием выбранных положительных направлений токов и напряжений, а также направлений обхода контуров представлен на рис. 2.12.

На основании первого закона Кирхгофа справедливы уравнения:

 

-i2+i4+i6=0  (узел 1);

-i1+i2+i3=0  (узел 2);

-i3+i5-i6=0  (узел 3);

i1-i4-i5=0  (узел 4).

 

На основании второго закона Кирхгофа получаются следующие уравнения:

 

u1+u2+u4=0  (контур I);

-u2+u3-u6=0  (контур II);

-u4+u5+u6=0 (контур III);

-u1-u3-u5=0  (контур IV).

 

В записанных уравнениях ток ik и напряжение uk обозначают ток и напряжение k-й ветви.

Сложение всех уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, дает тождество 0=0. Аналогичный результат получается при суммировании уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Таким образом, среди записанных уравнений есть линейно зависимые.

Вместо уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов можно составить уравнения по первому закону Кирхгофа для сечений (замкнутых поверхностей). При этом сечению замкнутой поверхности придается ориентация. На рис. 2.13 показаны четыре сечения S1¸S4, для которых справедливы следующие уравнения (за положительные направления принимают направления токов из замкнутых поверхностей):

 

-i1+i2+i3=0  (S1);

-i1+i2+i5-i6=0  (S2);

-i1+i4+i5=0  (S3);

i1-i4-i5=0  (S4);

 

 

Уравнение для сечения S3 отличается от уравнения для сечения S4 только знаками слагаемых. Следовательно, среди уравнений, составленных для четырех сечений, по крайней мере одно является зависимым.

Вопрос о числе независимых уравнений, которые практически можно составить по законам Кирхгофа, весьма важен. Этот вопрос решают, применяя понятие дерева графа (схемы).

С помощью дерева образуется д главных сечений и к главных контуров. Главные сечения (главные контуры) отличаются друг от друга по крайней мере одной ветвью дерева (одной ветвью связи). Если для главных сечений или для главных контуров составляют уравнения по первому закону Кирхгофа, то они содержат по крайней мере по одному слагаемому, которого нет в других уравнениях. Таким образом, уравнения для главных сечений и главных контуров линейно независимы. Общее число линейно независимых уравнений, составляемых по законам Кирхгофа, равно числу всех ветвей:

 

д+к=(у-1)+в-(у-1)=в

 

 

Таким образом, по первому закону Кирхгофа для сечений составляют

 

д=у-1  (2.3)

 

независимых уравнений. Число независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно

 

к=в-у+1.  (2.4)

 

Очевидно, что уравнения для сечений получаются как линейные комбинации уравнений для узлов. Например, уравнение для сечения S2 представляет сумму уравнений для узлов 2 и 3, уравнение для сечения S3 - сумму уравнений для узлов 1, 2 и 3. В общем случае уравнение для замкнутой поверхности получается суммированием уравнений для узлов, охватываемых этой поверхностью. Следовательно, число независимых уравнений для узлов совпадает с числом независимых уравнений для сечений (2.3).

Из сказанного вытекает значение топологического понятия дерево: дерево позволяет образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа.

Пример 2.1. Составить независимые уравнения по законам Кирхгофа для графа рис. 2.12.

Решение. Сначала выбираем дерево графа (ветви 2 — 3 — 5). Дерево, главные контуры и сечения показаны на рис. 2.14. За направление обхода контура принимаем направление ветви связи контура, за направление сечения — направление, совпадающее с направлением ветви дерева сечения.

По первому закону Кирхгофа, для сечений

 

i2-i4-i6=0  (S1);

i3+i6+i4=0  (S2);

i5+i4-i1=0  (S3);

 

Если за положительное направление тока принять направление к узлу, то уравнения для сечений S1 и S3 совпадают с уравнениями для узлов.

По второму закону Кирхгофа,

 

u1+u3+u5=0  (контур I);

u4-u5-u3+u2=0  (контур II);

u6-u3+u2=0  (контур III);

[an error occurred while processing this directive]

Инженерная графика

 

Сопромат