Действие ионизирующих излучений Явление радиоактивности

Атомная физика Примеры решения задач

Многоэлектронные атомы. Неразличимость одинаковых микрочастиц. Бозоны и фермионы. Принцип Паули. Учет взаимодействия электронов. Одноэлектронное приближение. Самосогласованное поле. Эффективная потенциальная энергия. Экранирование. Атомные орбитали, оболочки и слои. Общий характер зависимости энергии связи электрона в сложном атоме от квантовых чисел n и l. Состояние атома в целом. Электронная конфигурация

Основы зонной теории

Уравнение Шредингера для электрона в периодическом потенциале

    В 1-й лекции мы рассматривали систему невзаимодействующих электронов, взаимодействие которых с атомами/ионами кристалла сводилось к столкновениям со средней частотой ~ 1/tau . Электроны не ощущали периодического потенциала решетки. Такую систему мы называли газом свободных электронов.
   В этой лекции мы начнем рассмотрение электронов в идеальном кристалле, где атомы расположены в строгом порядке, определяемом решеткой Браве. Следовательно, потенциал взаимодействия также обладает периодичностью решетки Браве:

U(r + R) = U(r),

(2.1)

где R - любой из векторов решетки Браве.
    Уравнение Шредингера для электрона в периодической решетке

Нpsi = (-(h/2/2m)2 + U(r))psi = Epsi (r),

(2.2)

где потенциал обладает свойством (2.1).
   Одним из основных следствий периодичности потенциала является теорема Блоха.

Теорема Блоха (1928г.):

    Собственные волновые функции psi одноэлектронного гамильтониана

Н = -(h/2/2m)2 + U(r),

где U(r + R) = U(r), при всех R , принадлежащих решетке Браве, могут быть выбраны в форме плоской волны, умноженной на функцию с периодичностью решетки Браве, т.е.

psink(r) = exp(ikr) unk(r),

(2.3)

где

unk(r + R) = unk(r)

(2.4)

для всех R, принадлежащих решетке Браве. Здесь n - номер зоны, появление котoрого связано с тем, что для данного k имеется множество решений.
    В иной записи теорема Блоха имеет вид

psi(r + R) = exp(ikR)psi(r),

(2.5)

что вытекает из (2.3) и (2.4).

Обобщенное граничное условие Борна-Кармана для периодического потенциала.

    Вместо макроскопического “ящика” с размерами L для периодических граничных условий Борна-Кармана в теории Зоммерфельда, выбираем “ящик” соразмерный элементарной ячейке соответствующей решетке Браве. Такое граничное условие является естественным обобщением граничных условий Борна-Кармана для периодического потенциала. Запишем его в виде

psink(r + Niai) = psink(r), i = 1, 2, 3

(2.6)

Здесь аi - тройка основных векторов, а все Ni - целые числа достигающие величин порядка N1/3, где N = N1N2N3 - полное число элементарных ячеек в кристалле. Как и в теории Зоммерфельда, мы предполагаем, что объемные свойства кристалла не зависят от выбора граничных условий, которые поэтому могут быть выбраны из соображений удобства вычислений.
    Применяя к граничным условиям теорему Блоха, находим

psink(r + Niai) = exp(iNikai)psink(r), i = 1, 2, 3

(2.7)

Соотношение (2.7) для произвольных Ni может выполняться только при условии

exp(iNikai) = 1 , где i =1, 2, 3, т.е. Nikai = 2pimi,

(2.8)

где mi -целые числа.
    Представим k в виде разложения по базису векторов bj обратной решетки (см. Д-2)

k = j=1,2,3 xjbj,

(2.9)

где хj - действительные числа, bjai = 2pideltaij .

Тогда из (2.8) и (2.9) получим xj = mj/Nj и разрешенный блоховский волновой вектор должен иметь следующий общий вид

k = j=1,2,3 (mj /Nj )bj.

(2.10)

Из (2.10) следует, что объем deltak в k -пространстве, приходящийся на одно разрешенное значение k, равен объему параллелепипеда с ребрами bj/Nj:

deltak = b1 /N1 [(b2 /N2 ) x (b3 /N3 )] = (1/N) b1 (b2 x b3).

(2.11)

Cледовательно, N = b1 (b2 x b3)/deltak есть число разрешенных волновых векторов в 1-й элементарной ячейке обратной решетки, т.е. в 1-й зоне Бриллюэна.
    Поскольку b1 (b2 x b3) есть объем элементарной ячейки обратной решетки, ф-ла (2.11) означает, что число разрешенных волновых векторов, содержащихся в одной элементарной ячейке обратной решетки, равно числу ячеек в кристалле.
    Объем элементарной ячейки обратной решетки равен (2pi)3/v, где v = V/N - объем элементарной ячейки прямой решетки. Следовательно, формулу (2.11) можно записать в виде:

deltak = (2pi)3/V.

(2.12)

Это совпадает с результатом, полученным в теории Зоммерфельда.

Доказательство теоремы Блоха Зоны Бриллюэна и энергетические зоны Для описания общего вида зонной структуры вещества часто бывает вполне достаточно воспользоваться приближением "пустой" решетки, т.е. решетки потенциал взаимодействия в которой пренебрежимо мал, U(r) = 0   В приближении слабого периодического потенциала (СПП) состояние электронов, описываемое ур. Ш., подвержено лишь слабому возмущающему воздействию со стороны ионов

Энергетические уровни вблизи одной из брэгговских плоскостей. Энергетическая щель Волновую функцию вида |ψ(r)|2 ~ (cos (1/2Gr))2 называют "s-типа" по аналогии с атомными волновыми функциями Энергетические зоны в одномерном случае Построение поверхности Ферми Приближение сильной связи применимо к тем случаям, когда перекрытие атомных волновых функций достаточно велико, чтобы приводить к необходимости введения поправок в представление об изолированных атомах, но в то же время не столь существенно, чтобы сделать атомное описание совершенно неправомочным.

Любая блоховская функция может быть представлена в виде разложения по узлам решетки. При этом функцию Ф(r) называют функцией Ванье Другие методы расчета зонной структуры Метод присоединенных плоских волн (ППВ) Вариационный принцип. Поскольку всякая ППВ имеет разрыв производной на границе между атомной и междоузельной областями, лучше использовать не уравнение Шредингера, а эквивалентный ему вариационный принцип. Метод гриновских функций Корринги, Кона, Ростокера (ККР)

Метод ортогонализованных плоских волн (ОПВ) Метод псевдопотециала (ПП) возник как обобщение метода ОПВ Итак, на предыдущих лекциях мы познакомились с квантомеханическим подходом к описанию поведения электрона в периодическом поле решетки Браве. Мы узнали также какими методами решается уравнение Шредингера для электронов, волновая функция которых удовлетворяет условию Блоха. В классической механике электрон обладает траекторией, т.е. помимо энергии, в данный момент времени - координату и производные координаты по времени - скорость/импульс, ускорение и т.д. Основные положения полуклассической модели

Механический и магнитный моменты атомных систем Оператор момента импульса. Квантование проекций и квадрата момента импульса. Классификация состояний по моменту импульса. Векторная модель сложения моментов импульса. Магнитный момент атомной системы, гиромагнитное отношение. Магнетон Бора. Прецессия моментов во внешнем магнитном поле. Опыт Штерна и Герлаха. Спин электрона и других микрочастиц. Полный момент атомной системы. Множитель Ланде. Спин-орбитальное взаимодействие. Магнитный резонанс и методы его наблюдения (метод пучков Раби, ЭПР и ЯМР). Магнитно-резонансные измерения g-фактора.
Примеры решения задач по атомной физике