Начертательная геометрия Лекции, примеры выполнения задания

Позиционные задачи

В данном модуле вы научитесь находить общий элемент пересекающихся геометрических фигур в пространстве, овладеете алгоритмом построения проекций элементов пересечения геометрических фигур, занимающих различное положение относительно плоскостей проекций.

В технике детали большинства изделий имеют формы, представляющие собой поверхности, пересечённые либо плоскостями, либо другими поверхностями. Для того, чтобы проектировать и изготавливать такие изделия, необходимо научиться строить линии пересечения различных геометрических фигур. В этом вам поможет данный раздел начертательной геометрии.

Позиционными задачами называют такие, в которых определяется взаимное расположение геометрических фигур в пространстве.

Существует три типа позиционных задач:

Взаимный порядок геометрических фигур.

Взаимная принадлежность геометрических фигур.

Взаимное пересечение геометрических фигур.

Первые две задачи были рассмотрены в предыдущих разделах курса.. Взаимный порядок геометрических фигур - это расположение геометрических фигур относительно плоскостей проекций и наблюдателя: "ближе - дальше", "выше - ниже", "левее - правее" и т.д. Взаимная принадлежность геометрических фигур - это "точка принадлежит ...", "прямая принадлежит ..." и т.д.

Рассмотрим подробнее всё многообразие решений третьего типа задач.

Взаимное пересечение геометрических фигур.

Две геометрические фигуры, пересекаясь, дают общий элемент:

Прямая с прямой - точку (а Ç b Þ К).

Прямая с плоскостью - точку (а Ç S Þ К).

Прямая с поверхностью - одну или несколько точек (а Ç D Þ К, М ...).

Плоскость с плоскостью - прямую линию (S Ç Г Þ а).

Плоскость с поверхностью - плоскую кривую или плоскую ломаную (S Ç D Þ m).

Поверхность с поверхностью - пространственную кривую или несколько пространственных кривых, которые, в свою очередь, могут состоять из плоских кривых или плоских ломаных (D Ç L Þ m).

Из всего многообразия этих задач выделяются две общие задачи, которые называют главными позиционными задачами:

Первая главная позиционная задача (1 ГПЗ) - пересечение линии с поверхностью (первые

три задачи).

Вторая главная позиционная задача (2 ГПЗ) - взаимное пересечение двух поверхностей

(4, 5 и 6 задачи).

При этом следует помнить, что плоскость - это частный случай поверхности, поэтому условимся пересечение плоскостей или плоскости с поверхностью относить ко 2 ГПЗ.

При решении 2 ГПЗ сначала необходимо выяснить, что будет являться общим элементом у двух пересекающихся поверхностей. Чаще всего бывает следующее:

а) Пересекаются два многогранника - общий элемент есть пространственная ломаная линия, состоящая из отдельных звеньев (каждое звено - прямая линия), как результат пересечения граней многогранников; звенья между собой соединены в точках А, В, С ..., которые представляют собой точки пересечения рёбер первого многогранника с гранями второго и наоборот (рис. 3-1).

Позиционные задачи

Рис. 3-1

б) Пересекаются многогранник с кривой поверхностью (например, тор с пирамидой). Общий элемент - пространственная кривая линия, состоящая из отдельных звеньев. Каждое звено есть результат пересечения граней многогранника с кривой поверхностью (звенья m, n, k ...- есть плоские кривые). Звенья между собой соединены в точках А, В, С, D, которые представляют собой результат пересечения рёбер многогранника с кривой поверхностью (рис. 3-2а).

Пересекаются многогранник с кривой поверхностью

Рис. 3-2а

Рис. 3-2б

в) Пересекаются две кривые поверхности (например, сфера с конусом). Общий элемент - пространственная кривая линия (рис. 3-2б).

Далее необходимо определить количество общих элементов пересекающихся поверхностей. Определяется оно в зависимости от характера пересечения поверхностей.

Характер пересечения поверхностей

Например, пересекаются конус Ф, окружность основания которого параллельна П1, и фронтально проецирующий цилиндр D (рис. 3-3).

Такой характер пересечения, когда одна из поверхностей насквозь пронзает другую, называется чистое проницание. В этом случае линий пересечения две (на рис. 3-3 это m и n).

Характер пересечения поверхностей

Рис. 3-3

Характер пересечения поверхностей, представленный на рис. 3-4, когда очерки поверхностей касаются в одной точке, является частным случаем проницания, когда линий пересечения две (m и n), но с одной общей точкой (А).

Характер пересечения поверхностей

Рис. 3-4

Характер пересечения поверхностей, представленный на рис. 3-5, когда одна из поверхностей "вдавливается" в другую, называется вмятие. В этом случае линия пересечения одна (на рис. 3-5 это - m).

Характер пересечения поверхностей

Рис. 3-5

Решение главных позиционных задач. 3 случая. 3 алгоритма. Способ решения главных позиционных задач, или алгоритм решения, зависит от расположения пересекающихся геометрических фигур относительно плоскостей проекций.

Решение задач в случае, когда одна из пересекающихся фигур проецирующая, вторая - непроецирующая.

Конические сечения Решение второй главной позиционной задачи по 2 алгоритму рассмотрим на примере конических сечений. Ещё в Древней Греции был известен тот факт, что при пересечении конуса различными плоскостями можно получить прямые линии, кривые второго порядка и, как вырожденный случай, точку

Задача: Построить линию пересечения сферы S и горизонтально проецирующей призмы Г

Решение задач в случае, когда обе пересекающиеся фигуры - непроецирующие. В данном случае задача усложняется тем, что на чертеже нет главной проекции ни у одной из пересекающихся фигур. Поэтому для решения таких задач специально вводят вспомогательную секущую поверхность-посредник, которая пересекает обе фигуры, выявляя общие точки. Эта поверхность-посредник может быть проецирующей, и тогда решение задачи можно свести ко 2 алгоритму, или непроецирующей (например, сфера - посредник). Решение первой и второй ГПЗ рассмотрим отдельно.

Задача: Найти точки пересечения пирамиды Г(SABC) с прямой а

Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка Пересечение соосных поверхностей вращения.

Инженерная графика