Ядерные реакторы
РБМК 1000
Математика
Курсовые
Альтернативная энергетика
ВВЭР
Информатика
Черчение

Теплоэнергетика

Реактор БН
Сопромат
Электротехника
Ядерная физика
Ядерное оружие
Графика
Карта

Курсовые и лабораторные по по сопромату

Коэффициент поверхностной чувствительности и от каких факторов зависит его величина. Обоснование величины коэффициента поверхностной чувствительности. В каких случаях в детали возникают остаточные напряжения и как они влияют на усталостную прочность. Влияние на усталостную прочность вида напряженного состояния. Связь пределов выносливости при различных видах нагружения со статической прочностью материала. Влияние на усталостную прочность градиента напряжений. Причины этого влияния.

Метод наименьших квадратов

Пусть в результате эксперимента мы получили ряд измерений величины : , соответствующих значениям аргумента , , …, , которые могут быть представлены на графике в виде точек (рис2). Нам необходимо установить эмпирическую зависимость между  и .

Очевидно, если соединить последовательно эти точки, то получим ломаную линию, не имеющую ничего общего с искомой зависимостью . Это следует хотя бы из того, что форма этой ломаной линии не будет воспроизводиться при повторных сериях измерений.


Рис 2 Расчет трехопорных рам Рамы представляют собой геометрически неизменяемую систему, состоящую из стержней, расположенных в плоскости (плоские рамы) или в пространстве, жестко или шарнирно соединенных между собой. Сложные рамные системы, в том числе статически неопределимые, изучаются в курсе строительной механики стержневых систем. В данной работе рассматриваются простейшие плоские статически определимые рамы, состоящие из жестко соединенных прямых стержней. Конструкция рамы не имеет замкнутых контуров и имеет три опорных стержня.

Измеренные значения  будут в общем случае смещены относительно искомой кривой как в сторону больших, так и в сторону меньших значений, вследствие статистического разброса (рис 3)


Рис. 3

Задача состоит в том, чтобы по данным экспериментальным точкам найти гладкую кривую (или прямую), которая проходила бы как можно ближе к графику “истинной” функциональной зависимости .

Теория вероятностей показывает, что наилучшим приближением будет такая кривая (или прямая) линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от экспериментальных точек до этой кривой будет минимальной.

Этот метод нахождения эмпирической зависимости получил название метода наименьших квадратов. Сущность этого метода состоит в следующем.

Предположим, что искомая зависимость выражается функцией , где  – параметры. Значения этих параметров определяются так, чтобы точки  располагались по обе стороны этой кривой как можно ближе к последней, то есть, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений   от функции  была наименьшей. (Это соответствует предположению, что разброс точек относительно кривой  подчиняется закону нормального распределения.)

Мерой этого разброса является дисперсия  или ее приближенное выражение  – средний квадрат отклонений:

.

Этот средний квадрат отклонений и должен принять минимальное значение. Как известно, функция  принимает минимальное значение при , если ее первая производная равна нулю. а вторая производная положительна при значении . Для функции многих переменных эти условия заменяются требованием, чтобы частные производные, то есть производные по параметру  удовлетворяли вышеупомянутым условиям (при этом остальные параметры   при вычислении производных считаются постоянными).

Таким образом, из условий минимума мы получаем систему уравнений для определения наилучших значений параметров.

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов на примере отыскания эмпирической зависимости пути, проходимого грузиками на машине Атвуда, от времени.

Полагая, что “истинная” зависимость пути от времени имеет вид

.

можно рассмотреть случайные отклонения:

 , (7)

где   – измеренные положения правого грузика в моменты времени .

Запишем квадратичную форму

  (8)

и потребуем, чтобы эта квадратичная форма, описывающая сумму квадратов отклонений точек   от искомой кривой, была минимальной:

.

Тогда из равенства нулю частных производных от  по параметрам  и  получим два уравнения

  (9)

Эти уравнения можно переписать в виде

   (10)

Решение этой системы позволяет найти значения  и , а затем определить ускорение .

(В уравнениях (7 – 10) индекс  соответствует усредненному значению данного параметра соответствующей серии измерений в таблицах 1 и 2.)

VI. Контрольные вопросы

1. Какие величины характеризуют прямолинейное движение?

2. Какое движение называется равномерным, ускоренным?

3. В чем состоит принцип метода наименьших квадратов?

4. Начертите график зависимости пути от времени для равноускоренного движения без начальной скорости, с начальной скоростью; график пути для равнозамедленного движения.

5. Объясните смысл и происхождение слагаемого  и величины  в законе пути, полученном в результате работы.

6. С какой целью мы применяем метод наименьших квадратов?

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. -М.: Наука, 1982.

2. Лебедев В.В. Руководство по обработке результатов наблюдений при выполнении лабораторных работ. -М. МИНГ, 1987.

 Существует экспериментально установленная зависимость:

 

где  – относительная поперечная деформация, – коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации). Коэффициент Пуассона  вместе с модулем продольной упругости Е характеризует упругие свойства материалов.

 Расчет на прочность стальных элементов, подверженных центральному растяжению или сжатию, следует выполнять по формуле

  (1.8)

где – коэффициент условий работы, принимаемый по СНИП (см. табл.1.1) или другим нормам.

 Таблица 1.1

Элементы конструкции

 Колонны общественных зданий и опор водонапорных башен

 Элементы стержневых конструкций покрытий и перекрытий:

 а) сжатых при расчетах на устойчивость

 б) растянутых в сварных конструкциях

 Сплошные составные балки, колонны, несущие статическую нагрузку и выполненные с помощью болтовых соединений, при расчетах на прочность

 Сечения прокатных и сварных элементов, несущих статическую нагрузку, при расчетах на прочность

 Сжатые элементы из одиночных уголков, прикрепляемые одной полкой 

0,95

0,95

0,95

1,1

1,1

0,75

 Примечание: В случаях, не оговоренных в настоящих нормах, в формулах следует

 принимать .

 Для хрупких материалов условия прочности принимают вид:

 при растяжении: , ;

 при сжатии: ,  (1.9)

где  и  – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии; nt и nc – нормативные коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу прочности (nt, nc>1).

 Для центрально сжатых бетонных элементов формула (1.9) записывается в виде:

  (1.10)

где  – коэффициент, принимаемый для бетона тяжелого, мелкозернистого и легкого равным 1,00; для ячеистого автоклавного – 0,85; для ячеистого неавтоклавного – 0,75.

 У к а з а н и я

 1. В том случае, когда направление нормальной силы заранее неизвестно, ее направляют от сечения. Если из условия равновесия нормальная сила получится со знаком «плюс», то брус испытывает растяжение, со знаком «минус» – сжатие.

 2. Если в рассматриваемом сечении приложена сосредоточенная сила F, направленная вдоль оси стержня, то значение нормальной силы на эпюре нормальных сил N в этом сечении изменяется скачкообразно на величину приложенной силы.

Cимметричные стержневые системы. Условиям, которым они должны удовлетворять. Упрощение канонических уравнений для симметричной рамы в случае симметричной и кососимметричной нагрузок. Представление произвольной нагрузки в виде суммы симметричной и кососимметричной нагрузок. Примеры. Выбор основной системы при расчете симметричной рамы. Почему в этом случае нет необходимости строить эпюры для всей рамы в целом. Какие внутренние усилия являются симметричными, а какие кососимметричными. Какие неизвестные в симметричной системе обращаются в нуль при действии симметричной нагрузки.

Инженерная графика

 

Начертательная геометрия
Теория цепей
Сопромат
Лабораторные работы
Электротехника
Математика