Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

ГРАВИТАЦИЯ Оглавление

Извлечение корня квадратного из +1.

Рассмотрим уравнение в комплексной плоскости , где - комплексное число.

Пусть , тогда имеем равенство , следовательно, учитывая периодичность аргумента , будем иметь

откуда следует и аргумент

и , где Уравнение имеет n различных корней.

При имеем

В тривиальном случае имеем два корня . Таким образом, единица и ее корни лежат на действительной оси. Так что формула извлечения корня в комплексной области не вполне согласована для этого случая.

В связи с этим рассмотрим вариант, когда единица представлена произведением сомножителей

Равенство аргумента нулю также соблюдено

В этом случае по формуле извлечения корня будем иметь

Таким образом, вместо двух корней имеем один. Чтобы получить два разных корня, необходимо при извлечении корня в одном из сомножителей взять , в другом . Тогда

Но эта операция равносильна введению новой мнимой единицы

В этом случае

Извлечение корня выводит в пространство чисел.

Таким образом, извлечение корня в пространстве дает два корня

От принятого порядка обозначения мнимых единиц результат не зависит, что и обосновывает коммутативность произведения мнимых единиц.

При этом аргумент состоит из суммы двух аргументов . Циклическая периодичность этого аргумента соответствует прибавлению к нему комплекса

Таким образом, доказаны два основных положения. Рассмотрим третье положение.

Пример 2. Доказать, что векторы ,  и  линейно зависимы и найти эту линейную зависимость

Решение.

(,,)==0,

cледовательно, векторы ,  и  компланарны, а значит, они линейно зависимы, т.е. существуют константы ,  и  такие, что ++=0, т.е. (+ +)+(3+ 4 +) + (+2-3)=, откуда следует: (+ 3 + )+ (+ 4 + 2) + (2+ -3)=, т.к. , ,  - базисные векторы, то имеем такую систему для нахождения ,  и :

Здесь  выступает в качестве параметра, и данная система имеет бесчисленное множество решений. Подставим ,  в указанную выше линейную комбинацию: . Сократим на . Получим искомую линейную зависимость .

Инженерная графика

 

Сопромат