Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

ГРАВИТАЦИЯ Оглавление

Расширение поля комплексных чисел. Исследование необходимых и достаточных условий расширения поля комплексных чисел.

Новая система чисел. Обоснование введения мнимых единиц и их взаимосвязь.

ТЕОРЕМА

Пространственное поле чисел представляется комплексом

,

где I,J –мнимые единицы (отличаются только обозначением) являются корнями уравнения ,

произведение мнимых единиц обладает свойством коммутативности и является решением уравнения , а

сумма и разность мнимых единиц в произведении дают ноль.

Доказательство

Доказательство включает три основных положения: необходимость введения мнимой единицы J, которая отличается от мнимой единицы I только обозначением и является также решением квадратного уравнения ; обосновать наличие нетривиального решения квадратного уравнения в виде произведения мнимых единиц и коммутативность этого произведения ; исследование свойств делителей нуля и показ, что алгебраические операции над делителями нуля подчиняются законам алгебры действительных чисел.

Расширение поля действительных чисел происходит за счет присоединения к ним мнимой единицы I, которая не лежит на действительной оси и является решением квадратного уравнения

, так что имеем

При этом квадратное уравнение разлагается на линейные множители

Если Х равен одному из корней, то один из множителей равен нулю. Это тривиальный результат. Любое другое значение Х не дает решение.

Однако до сих пор

Остается нерассмотренный вариант равенства нулю двух множителей не равных нулю

,

а в произведении дающих нуль. В этом случае имеем два несовместных уравнения ( одновременно не выполняются выражения), например

Это условие диктует введение второй мнимой единицы.

Поэтому вводится мнимая единица J, которая не лежит в действительных областях чисел X,Y и также как мнимая единица I является решением квадратного уравнения

Таким образом, квадратное уравнение разлагается на линейные множители не равные нулю, но в произведении дающие ноль

Сомножители являются делителями нуля. Для того, чтобы пространственное число образовывало поле чисел необходимо также доказать, что делители нуля подчиняются законам алгебры действительных и комплексных чисел в смысле Коши.

Мнимые числа одновременно являются решением квадратного уравнения, как его корни, так и дают равенство его нулю при разложении на линейные множители, представляющие сумму и разность этих чисел. Таким образом, третье условие равенства нулю двух множителей, одновременно не равных нулю, а также наличие корня квадратного уравнения одновременно с этим условием обосновывает введение второй мнимой единицы.

Докажем второе положение. Во первых:

Действительные числа и мнимые единицы, которые также являются числами, подчиняются закону коммутативного умножения, так как в противном случае не будет выполняться третье условие равенства нулю двух множителей одновременно не равных нулю. Поэтому .

Можно записать

Четвертая единица делает алгебраическую систему замкнутой, не требуется введения новых мнимых единиц. При этом имеем .

Квадратное уравнение должно иметь решение, как в действительной области чисел, так и в пространстве. В плоском комплексном пространстве корень из +1 записывается в виде

Эта формула справедлива при условии, когда отсчет корней начинается от аргумента равного нулю. В тривиальном случае принимается любое число в нулевой степени равно единице, так что . Этот вариант извлечения корня требует уточнения.

Пример 2. Доказать, что векторы ,  и  линейно зависимы и найти эту линейную зависимость

Решение.

(,,)==0,

cледовательно, векторы ,  и  компланарны, а значит, они линейно зависимы, т.е. существуют константы ,  и  такие, что ++=0, т.е. (+ +)+(3+ 4 +) + (+2-3)=, откуда следует: (+ 3 + )+ (+ 4 + 2) + (2+ -3)=, т.к. , ,  - базисные векторы, то имеем такую систему для нахождения ,  и :

Здесь  выступает в качестве параметра, и данная система имеет бесчисленное множество решений. Подставим ,  в указанную выше линейную комбинацию: . Сократим на . Получим искомую линейную зависимость .

Инженерная графика

 

Сопромат