Ядерные реакторы
РБМК 1000
Математика
Курсовые
Альтернативная энергетика
ВВЭР
Информатика
Черчение

Теплоэнергетика

Реактор БН
Сопромат
Электротехника
Ядерная физика
Ядерное оружие
Графика
Карта

Ряды в пространстве Оглавление

Теорема Н. Абеля.

Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и в любой точке , расположенной ближе к центру , чем , причем в любой сфере , где , сходимость ряда равномерна. Математика примеры решения задач Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически 

Понятие области сферы в пространстве неразрывно связано с простейшей замкнутой кривой Под областью G сферы понимается область пространства, находящейся внутри замкнутой поверхности , натянутой без точек самопересечения на кривую , то есть эта область определяется как и представляет область сферы с выколотой изолированной осью, проходящей через точку Предположим произвольная точка области G и представим n –ый член ряда в виде

В силу сходимости в точке член ограничен по модулю и стремится к нулю. Кроме того

и следовательно для всех n имеем .Откуда вытекает равномерная сходимость на сфере . Так как, K может быть сколь угодно близким к 1, то имеем .Из теоремы Абеля, перенесенной в пространство следует, что областью сходимости степенного ряда является сфера с центром в точке радиуса R, равного радиусу сходимости ряда.

Радиус сходимости определяется по формуле . Следовательно ряд будет сходиться в области сферы в пространстве . Это верхняя граница сходимости.

Нижняя граница сходимости определяется как . Для изолированного направления

Область сходимости будет определяться как . Радиус сходимости становится коэффициентом перед делителем нуля. Нижняя граница .

При разложении функции в ряд по степеням , происходит перенос изолированной оси в точку . Этот перенос и определяет область сходимости ряда G

Справедливо следующее утверждение: Однозначная аналитическая функция в области G разлагается в окрестности точки в степенной ряд Тейлора

, где коэффициенты ряда определяются формулами

или

, кривая натянута на сферу радиуса , которая имеет центром точку и целиком лежит в окрестности этой точки. Радиус сферы сходимости определяется расстоянием от точки до ближайшей особой точки функции в пространстве , либо до ближайшей особой точки, расположенной на изолированной оси. Остаются в пространствесправедливыми следующие разложения элементарных функций классического анализа

в точке.

,

,

,

 

 

 

 

 

 

(1.58.)

Эти соотношения имеют место во всем комплексном пространствеи имеют место на множестве делителей нуля. Непосредственным вычислением производных получим разложение в точке

(1.59.)

,в частности при ,получим

.Радиус сходимости этих функций равен 1. Ближайшими особыми точками для них служат , а также точка . Функции и др., представленные сходящимся степенным рядом во всем пространстве, будут называться целыми функциями.

Сумма, разность и произведение целых функций дают целые функции. Это свойство широко используется при разложении в степенные ряды.

Рассмотрим ряд примеров. Функция представляется степенным рядом ,сходящимся во всем пространстве .Рассмотрим сходимость ряда на конусе делителей нуля (или на изолированной оси). Определим и воспользуемся формулой возведения делителей нуля в целую степень n, согласно таблице

Подставим данные соотношения в исходный ряд

. Коэффициент определяет радиус сходимости ряда по изолированной оси и определяет расстояние от нуля до особой точки на этой оси.

.

Таким образом, в области определяемой делителями нуля, ряд также имеет бесконечный радиус сходимости. Если , то имеем , так как

, естественно, что в этих выражениях рассматривается без делителей нуля.

Далее имеем

Складывая и вычитая эти два равенства получим

Учитывая, что функция получим

Таким образом, получено выражение для первой комплексной части при разложении функции

в ряд по изолированному направлению. Вторая комплексная часть получается аналогичным образом

В комплексной плоскости Z разложение функции в окрестности точки представляется рядом Тейлорав круге сходимости радиуса R ( то есть для всех точек этого круга). Центр окружности Г круга сходимости находится в точке . Эта окружность проходит через особую точку функции , ближайшую к точке . Коэффициенты ряда вычисляются по формуле , где n =0,1,2, ….В пространстве круг сходимости радиуса R заменяется на сферу сходимости радиуса R, так что для всех в сфере сходимости имеем Однако необходимо подчеркнуть еще раз, в сфере сходимости из точки исходит изолированное направление, которое записывается в виде делителей нуля , где в этом случае параметры не содержат условий, приводящих к делителям нуля. Точка может быть любой из пространства . В этом случае подставляя в ряд будем иметь Радиус сходимости этого ряда определяется из соотношения . В пределах этого радиуса точка определяется параметрами не дающими изолированного направления. Радиус сходимости по изолированному направлению сокращен в два раза по отношению к обычному радиусу. Ряд сходится для всех точек начиная от окрестности точки до точки

.

При разложении в ряд Тейлора функции по изолированному направлению, целесообразно разложение производить отдельно первой и второй комплексных частей.

. Рассмотрим ряд характерных примеров.

Пример. Рассмотрим разложение логарифмической функции на конусе делителей нуля. Согласно имеем

Известно, что ряд сходится в области сферы радиуса , за вычетом изолированного направления. Исследуем поведение ряда в делителях нуля. Обозначим . Раскроем левую часть

. Замена переменных на z сделана на основании свойства изолированного аргумента. Подставим в правую часть получим

Если , ряд сходится и имеет радиус сходимости равный . Приравнивая комплексные части с левой и правой стороны получим

Таким образом, чтобы не было противоречий в разложении исходной функции как единого пространственного комплекса необходимо доказать, что вторая комплексная часть в левой стороне равна первой, а именно в комплексной плоскости имеем

, что и требовалось доказать. Одновременно получено следующее соотношение

Пример.

, ряд сходится во всем пространстве . Исследуем сходимость ряда в подпространстве делителей нуля. Заменим в левой и правой частях равенства

, так как функция есть четная функция и. Первая комплексная часть равна

. Произведем замену

, получим

Разлогая в ряд экспоненциальные функции получим

, радиус сходимости этого ряда равен

. Область сходимости по изолированному направлению равна бесконечности.

Пример. Ряд имеет радиус сходимости сферы . По изолированному направлению ряд запишется в виде

, радиус сходимости этого ряда равен .

Векторное произведение и его свойства

1. Определение векторного произведения

Определение.  Векторным произведением  ненулевых векторов  и  называется такой вектор , который удовлетворяет трём условиям:

1. , т.е. длина вектора  численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

2. Вектор  перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы  и .

3. Тройка , ,  - правая (рис. 2.6.1)

Инженерная графика

 

Сопромат