Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

Интегральные теоремы Коши в комплексном пространстве Оглавление

Распространение интегральных теорем на многосвязные области.

Если функция определена в области G пространства Y и ее конструкция имеет особенность в этой области, то теорема о равенстве нулю криволинейного интеграла по замкнутому контуру неверна. Так функция в комплексной плоскости аналитична всюду в кольце. В пространстве функция аналитична в сфере

Математика примеры решения задач Геометрические и физические приложения кратных интегралов

 

То есть в области сферы с удаленной из нее областью изолированной оси радиуса и изолированным направлением .В сферических координатах

.

Составим логарифмическую функцию, где интеграл будем брать по кривой .

Имеем , где , тогда интеграл будет равен

, где

-- приращение аргумента вдоль кривой,.

--приращение аргумента вдоль кривой .

Многозначный характер логарифмической функции в пространстве определяется двумя аргументами. Итак

. Для замкнутой кривой

.

Если кривую натянуть без точек самопересечения на сферу так, чтобы часть кривой шла не по изолированной оси а по внутренней поверхности сферы, то интеграл

будет равен

Обобщением предыдущего интеграла служит , где —пространственная кривая типа около точки a, так что , . Уравнение кривой запишется в виде , так что изолированная ось перенесена в точку a. Тогда

. При n=-1 интеграл равен

При получаем. В интеграле можно произвести отделение комплексных частей, однако не нарушая общего подхода в изложении, будем рассматривать мнимые числа i, j как обыкновенные постоянные. В этом случае к интегралу можно применить формулу Грина.

Другие свойства двойного векторного произведения нетрудно проанализировать, принимая во внимание свойства скалярного и векторного произведения.

Пример 1. Показать, что точки А (1,2,1), В (3,3,3), С (4,1,2) и D (5,4,5) лежат в одной плоскости.

Решение. Найдем координаты векторов ,  и .

(2,1,2), (3,-1,1),  (4,2,4).

Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то и векторы лежат в одной плоскости (рис. 2.8.1), а тогда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

 


Действительно,

(, ,) =  = 0,

т.к. первая и вторая строки определителя пропорциональны.

Инженерная графика

 

Сопромат