Тройной интеграл Скалярное и векторное поле Геометрический смысл производной Числовые ряды Введение в ТФКП Вычислить интеграл Задачи и примеры Изменить порядок интегрирования Физические приложения тройных интегралов

Курс лекций высшей математики Оглавление

 

Степенные ряды.

  Определение. Степенным рядом называется ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

 

  Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1:  ряд сходится по признаку Лейбница

При х = -1:  ряд расходится (гармонический ряд).

 

Теоремы Абеля.

(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)

  Теорема. Если степенной ряд  сходится при x = x1 , то он сходится и притом абсолютно для всех .

 

  Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x<x1 численные величины членов нашего ряда будут меньше ( во всяком случае не больше ) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии  по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд  сходится, а значит ряд  сходится абсолютно.

 

Таким образом, если степенной ряд сходится в точке х1, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2 с центром в точке х = 0.

 

Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех .

 

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что  ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

 Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости .

Следовательно, данный ряд сходится прилюбом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

  Теорема. Если степенной ряд  сходится для положительного значения х=х1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .

 

Действия со степенными рядами.

1) Интегрирование степенных рядов.

Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: , то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:

 

 

 

 2) Дифференцирование степенных рядов.

 

Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:

 

 3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.

 

Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:

 

Произведение двух степенных рядов выражается формулой:

 

Коэффициенты сi находятся по формуле:

 

Деление двух степенных рядов выражается формулой:

Для определения коэффициентов qn рассматриваем произведение , полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений:

 

Пример 2. Найти величину и направление наибольшего изменения функции  в точке .

Решение. Находим частные производные функции U(M) в любой точке M(x, y, z) и в точке M0:

.

Тогда в точке  имеем . Наибольшая скорость изменения поля в точке M0 достигается в направлении  :

.

Пример 3. Вычислим работу силы  вдоль отрезка прямой АВ, если А(1, 1, 1) и В(2, 3, 4).

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой АВ:

.

Тогда работа А силы  на пути АВ вычисляется по формуле

.

 

Теоремы о проекциях вектора. Определение 1. Углом между вектором  и осью  называется наименьший угол между направлением вектора  и положительным направлением оси , обозначается .

Теорема 1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью. Доказательство. Пусть угол  острый, тогда . Если же  тупой (рис. 2.4.1), то ясно, что пр.

Курс лекций Сопротивление материалов