Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

Курс лекций высшей математики Оглавление

 

Ряды. Основные определения.

  

  Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности  называется числовым рядом.

При этом числа   будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.

 

  Определение. Суммы n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

Предел функции на бесконечности Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность сходится к А.

  Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …

  Определение. Ряд   называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

 

  Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

 

Свойства рядов.

  1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

  2) Рассмотрим два ряда  и , где С – постоянное число.

  Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0)

 

  3) Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

  Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд  тоже сходится и его сумма равна S + s.

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

 

  При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

Уравнение вида

, (2)

называется неоднородным линейным уравнением второго порядка. Если  – общее решение соответствующего однородного уравнения,  – частное решение уравнения (2), то общее решение уравнения (2) имеет вид .

Укажем правило нахождения частного решения  уравнения (2) методом неопределенных коэффициентов.

Пусть , тогда:

1) , если  не является корнем характеристического уравнения;

2) , если  является простым корнем характеристического уравнения;

3) , если  является двукратным корнем характеристического уравнения.

Пусть , тогда:

1) , если число  не является корнем характеристического уравнения;

2) , если число  не является корнем характеристического уравнения.

6. Ряд вида

 (3)

называется степенным рядом,  – коэффициенты ряда. Число  называется радиусом сходимости ряда, если ряд (3) сходится при  и расходится при .

При  ряд может как сходиться, так и расходиться. Интервал  называется интервалом сходимости ряда. Радиус сходимости  находится по формуле

.

7. Рядом Фурье периодической функции , , называется ряд вида

.

Коэффициенты Фурье  вычисляем по формулам ,

.

 

Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Компоненты вектора

1. Проекция вектора на ось.

Пусть вектор  лежит на некоторой оси . Направление орта   соответствует направлению оси (Рис. 2.3.1).

Определение 1. Проекцией вектора, лежащего на оси, на эту ось называется число, по абсолютной величине равное длине вектора и взятое со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком минус, если они противоположны.

Пусть вектор  не лежит на оси . Из точек  и  опустим перпендикуляры на ось . Получим соответственно две точки и . (Рис. 2.3.2). Вектор называется компонентой вектора   по оси .

Инженерная графика

 

Сопромат