Математика. Контрольные, курсовые и дипломные работы от лучших авторов!

Тройной интеграл Скалярное и векторное поле Геометрический смысл производной Числовые ряды Введение в ТФКП Вычислить интеграл Задачи и примеры Изменить порядок интегрирования Физические приложения тройных интегралов

Курс лекций высшей математики Оглавление

 

Ряды. Основные определения.

  

  Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности  называется числовым рядом.

При этом числа   будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.

 

  Определение. Суммы n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

Предел функции на бесконечности Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность сходится к А.

  Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …

  Определение. Ряд   называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

 

  Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

 

Свойства рядов.

  1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

  2) Рассмотрим два ряда  и , где С – постоянное число.

  Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0)

 

  3) Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

  Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд  тоже сходится и его сумма равна S + s.

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

 

  При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

Уравнение вида

, (2)

называется неоднородным линейным уравнением второго порядка. Если  – общее решение соответствующего однородного уравнения,  – частное решение уравнения (2), то общее решение уравнения (2) имеет вид .

Укажем правило нахождения частного решения  уравнения (2) методом неопределенных коэффициентов.

Пусть , тогда:

1) , если  не является корнем характеристического уравнения;

2) , если  является простым корнем характеристического уравнения;

3) , если  является двукратным корнем характеристического уравнения.

Пусть , тогда:

1) , если число  не является корнем характеристического уравнения;

2) , если число  не является корнем характеристического уравнения.

6. Ряд вида

 (3)

называется степенным рядом,  – коэффициенты ряда. Число  называется радиусом сходимости ряда, если ряд (3) сходится при  и расходится при .

При  ряд может как сходиться, так и расходиться. Интервал  называется интервалом сходимости ряда. Радиус сходимости  находится по формуле

.

7. Рядом Фурье периодической функции , , называется ряд вида

.

Коэффициенты Фурье  вычисляем по формулам ,

.

 

Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Компоненты вектора

1. Проекция вектора на ось.

Пусть вектор  лежит на некоторой оси . Направление орта   соответствует направлению оси (Рис. 2.3.1).

Определение 1. Проекцией вектора, лежащего на оси, на эту ось называется число, по абсолютной величине равное длине вектора и взятое со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком минус, если они противоположны.

Пусть вектор  не лежит на оси . Из точек  и  опустим перпендикуляры на ось . Получим соответственно две точки и . (Рис. 2.3.2). Вектор называется компонентой вектора   по оси .

Курс лекций Сопротивление материалов