Лекции по математике второго курса, третий семестр

Курс лекций - первый семестр

Линейная алгебра. Элементы векторной алгебры Аналитическая геометрия Введение в математический анализ Дискретная математика Системы координат Элементы высшей алгебры

Курс лекций - второй семестр

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Теоремы о среднем Раскрытие неопределенностей Производные и дифференциалы высших порядков Интегральное исчисление

Курс лекций - третий семестр

Курс лекций - четвертый семестр

Формула Бейеса. Формула Бернулли Распределение Пуассона Теория массового обслуживания Случайные процессы Примеры решения задач Цепи Маркова.

Если кусочно-гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах , то длина дуги равна , (1), где  и  – значения , соответствующие граничным точкам дуги.

1. Находим .

2. Вычисляем дифференциал длины дуги .

3. Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).

7) Вычислить объем тела, если известны площади его поперечных сечений.

Если S=S(x) – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и пересекающей ее в точке с абсциссой x, то объем части тела, заключенной между плоскостями x=a и x=b, определяется формулой . (1)

1. Находим S(x).

2. Находим объем согласно формуле (1).

8) Вычислить объем тела, образованного вращением области, ограниченного графиками функций y=f1(x) и y=f2(x) и, возможно, прямыми x=a и x=b, вокруг оси Ox.

Объем тела, образованного вращением области, ограниченной кривыми y=u(x) и y=v(x) и прямыми x=a и x=b, где , т.е. области, определяемой системой неравенств   вычисляется по формуле

. (1)

1. Определяем область D. Если неравенства, определяющие область D, неизвестны, т.е. неизвестны a и b и/или неизвестно, какая из функций f1(x) и f2(x) больше другой на отрезке [a,b], то выполняем следующие операции:

а) находим a и b как абсциссы точек пересечения графиков функций y=f1(x) и y=f2(x), т.е. решаем уравнение f1(x)=f2(x);

б) исследуем знак разности f1(x)-f2(x) на отрезке [a,b,]. Для этого достаточно вычислить значение f1(x)-f2(x) в какой-нибудь точке из (a,b). Если оно положительно, то f1(x)f2(x) и, следовательно, u(x)=f2(x) и v(x)=f1(x). Если оно отрицательно, то f1(x)f2(x) и, следовательно, u(x)=f1(x) и v(x)=f2(x).

2. Вычисляем объем по формуле (1).

 


Задачи.

Содержание

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

Понятие первообразной функции. Теоремы о первообраз­ных.

Неопределенный интеграл, его свойства.

Таблица неопределенных интегралов.

Замена переменной и интегрирование по частям и неопре­деленном интеграле.

Разложение дробной рациональной функции на простей­шие дроби.

6) Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций.

7) Интегрирование выражений, содержащих тригонометри­ческие функции.

 8) Интегрирование иррациональных выражений.

 9) Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

  10) Основные свойства определенного интеграла.

 11) Теорема о среднем.

Производная определенного интеграла по верхнему пре­делу. Формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменной и интегрирование по частям в опре­деленном интеграле.

Интегрирование биномиальных дифференциалов.

15) Вычисление площадей плоских фигур.

16) Определение и вычисление длины кривой, дифференциал длины дуги кривой.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

Считая, что функция  равна 1 при, доказать,
что она интегрируема на отрезке .

Какой из интегралов больше:

или ?

Пусть  — непрерывная функция, а функции  и  дифференцируемые. Доказать, что

4) Найти 

5) Найти точки экстремума функции

Пусть — непрерывная периодическая функция с пе­риодом . Доказать, что

 .

Доказать, что если  — четная функция, то

 8) Доказать, что для нечетной функции  справедливы равенства

и

Чему равен интеграл ?

9) При каком условии, связывающем коэффициенты а, b, с, интеграл является рациональной функцией?

10) При каких целых значениях n интеграл  выражается элементарными функциями?

Курс лекций Сопротивление материалов