Лекции по математике второго курса, третий семестр

Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

Курс лекций - первый семестр

Линейная алгебра. Элементы векторной алгебры Аналитическая геометрия Введение в математический анализ Дискретная математика Системы координат Элементы высшей алгебры

Курс лекций - второй семестр

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Теоремы о среднем Раскрытие неопределенностей Производные и дифференциалы высших порядков Интегральное исчисление

Курс лекций - третий семестр

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка

Однородные уравнения

Линейные уравнения

Метод Лагранжа

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения Лагранжа и Клеро

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Элементы теории устойчивости

Классификация точек покоя

Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.

Уравнение колебаний струны

Решение задачи Коши методом разделения переменных.

Уравнение теплопроводности

Ряды. Основные определения.

Критерий Коши

Признак Коши. (радикальный признак)

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды

Функциональные последовательности

Степенные ряды

Разложение функций в степенные ряды.

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Ряды Фурье

Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье

Ряд Фурье по ортогональной системе функций

Элементы теории функций комплексного переменного

Производная функций комплексного переменного

Ряды Тейлора и Лорана

Теорема о вычетах

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа.

Теоремы свертки и запаздывания

Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы второго рода

Формула Остроградского – Грина

Поверхностные интегралы первого рода

Поверхностные интегралы второго рода

Формула Гаусса – Остроградского

Элементы теории поля

Формула Стокса.

Курс лекций - четвертый семестр

Формула Бейеса. Формула Бернулли Распределение Пуассона Теория массового обслуживания Случайные процессы Примеры решения задач Цепи Маркова.

Если кусочно-гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах , то длина дуги равна , (1), где  и  – значения , соответствующие граничным точкам дуги.

1. Находим .

2. Вычисляем дифференциал длины дуги .

3. Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).

7) Вычислить объем тела, если известны площади его поперечных сечений.

Если S=S(x) – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и пересекающей ее в точке с абсциссой x, то объем части тела, заключенной между плоскостями x=a и x=b, определяется формулой . (1)

1. Находим S(x).

2. Находим объем согласно формуле (1).

8) Вычислить объем тела, образованного вращением области, ограниченного графиками функций y=f1(x) и y=f2(x) и, возможно, прямыми x=a и x=b, вокруг оси Ox.

Объем тела, образованного вращением области, ограниченной кривыми y=u(x) и y=v(x) и прямыми x=a и x=b, где , т.е. области, определяемой системой неравенств   вычисляется по формуле

. (1)

1. Определяем область D. Если неравенства, определяющие область D, неизвестны, т.е. неизвестны a и b и/или неизвестно, какая из функций f1(x) и f2(x) больше другой на отрезке [a,b], то выполняем следующие операции:

а) находим a и b как абсциссы точек пересечения графиков функций y=f1(x) и y=f2(x), т.е. решаем уравнение f1(x)=f2(x);

б) исследуем знак разности f1(x)-f2(x) на отрезке [a,b,]. Для этого достаточно вычислить значение f1(x)-f2(x) в какой-нибудь точке из (a,b). Если оно положительно, то f1(x)f2(x) и, следовательно, u(x)=f2(x) и v(x)=f1(x). Если оно отрицательно, то f1(x)f2(x) и, следовательно, u(x)=f1(x) и v(x)=f2(x).

2. Вычисляем объем по формуле (1).

 


Задачи.

Содержание

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

Понятие первообразной функции. Теоремы о первообраз­ных.

Неопределенный интеграл, его свойства.

Таблица неопределенных интегралов.

Замена переменной и интегрирование по частям и неопре­деленном интеграле.

Разложение дробной рациональной функции на простей­шие дроби.

6) Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций.

7) Интегрирование выражений, содержащих тригонометри­ческие функции.

 8) Интегрирование иррациональных выражений.

 9) Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

 10) Основные свойства определенного интеграла.

 11) Теорема о среднем.

Производная определенного интеграла по верхнему пре­делу. Формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменной и интегрирование по частям в опре­деленном интеграле.

Интегрирование биномиальных дифференциалов.

15) Вычисление площадей плоских фигур.

16) Определение и вычисление длины кривой, дифференциал длины дуги кривой.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

Считая, что функция  равна 1 при, доказать,
что она интегрируема на отрезке .

Какой из интегралов больше:

или ?

Пусть  — непрерывная функция, а функции  и  дифференцируемые. Доказать, что

4) Найти 

5) Найти точки экстремума функции

Пусть — непрерывная периодическая функция с пе­риодом . Доказать, что

 .

Доказать, что если  — четная функция, то

 8) Доказать, что для нечетной функции  справедливы равенства

и

Чему равен интеграл ?

9) При каком условии, связывающем коэффициенты а, b, с, интеграл является рациональной функцией?

10) При каких целых значениях n интеграл  выражается элементарными функциями?

Инженерная графика

 

Сопромат