Математика. Контрольные, курсовые и дипломные работы от лучших авторов!

Тройной интеграл Скалярное и векторное поле Геометрический смысл производной Числовые ряды Введение в ТФКП Вычислить интеграл Задачи и примеры Изменить порядок интегрирования Физические приложения тройных интегралов

Курс высшей математики Оглавление     

 

Кратные интегралы.

  Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

 

Двойные интегралы.

 

  Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

f(x, y) = 0.

 

 y

 

 

 

 

 

  Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

  С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

  Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dхi, а по оси у – на Dуi. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны Si = Dxi × Dyi .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(хi, yi) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

  Если бесконечно увеличивать количество частичных областей Di, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.

 

  Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы  имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

 

 

  С учетом того, что Si = Dxi × Dyi получаем:

 

 

  В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

 Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу:

 

 

Условия существования двойного интеграла.

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.

 

  Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл  существует.

 

 

  Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области D и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл  существует.

 

Свойства двойного интеграла.

 

1)

 

2)

 

3)  Если D = D1 + D2, то

 

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

 

 

5)  Если f(x, y) ³ 0 в области D, то  .

 

6) Если f1(x, y) £ f2(x, y), то .

 

7)  .

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100  1,5 = 150, а еще через полгода - в 150  1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100  (1 +1/3) 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

                                        100  (1 +1/10)10  259 (ден. ед.),

                                        100  (1+1/100)100  270 (ден. ед.),

                                        100  (1+1/1000)1000  271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность xn =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы >0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство  xn -1 <.

Возьмем любое  >0. Так как  xn -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<. Отсюда n>1/ и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/, N = E(1/). Мы тем самым доказали, что .

 

Предельный анализ в экономике. Эластичность функции В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f(x) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x, то f '(x) называют предельным продуктом; если g(x) есть функция издержек, т. е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x, то g'(x) называют предельными издержками. Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей

Курс лекций Сопротивление материалов