Математика. Контрольные, курсовые и дипломные работы от лучших авторов!

Тройной интеграл Скалярное и векторное поле Геометрический смысл производной Числовые ряды Введение в ТФКП Вычислить интеграл Задачи и примеры Изменить порядок интегрирования Физические приложения тройных интегралов

Курс высшей математики Оглавление   

 

Интегральное исчисление. 

Первообразная функция.

 

  Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией  функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

 

  Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

 

Неопределенный интеграл.

 

  Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

  Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

  Свойства:

1.

2.

3.

4.  где u, v, w – некоторые функции от х.

6.     

 

Пример:

 

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

 Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

 

 

  Интеграл

  Значение

  Интеграл

  Значение

1

  -ln½cosx½+C

9

  ex + C

2

  ln½sinx½+ C

10

  sinx + C

3

 

11

  -cosx + C

4

 

12

  tgx + C

5

13

  -ctgx + C

6

ln

14

  arcsin + C

7

15

8

 

16

 

 

Дифференциал функции

Пример 1. Найти .

Решение. Напомним, что . Найдем

,

тогда дифференциал .

Пример 2. Вычислить приближенно: а) ; б) ; в) .

Решение. Используем формулу: .

а) Рассмотрим функцию ; возьмем , тогда . Имеем:

;

.

Итак, .

б) Рассмотрим функцию  и возьмем: ; . Тогда:

.

в) . Вычислим . Обозначим:

; ; ; тогда .

Следовательно, .

 

Функции двух переменных. Частные производные. Метод наименьших квадратов.

Пусть D(x, y) - некоторое множество точек плоскости Oxy. Если каждой упорядоченной паре чисел (x, y) из области D соответствует определенное число z  Z  R, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y. Переменные x и y называются независимыми переменными, или аргументами, D - областью определения, или существования, функции, а множество Z всех значений функции - областью ее значений. Функциональную зависимость z от x и y записывают в виде z = f(x, y), z = z(x, y),
z = F(x, y) и т.д. Например, объем цилиндра V = R2Н есть функция от радиуса R его основания и от высоты Н, т.е. V = f(R, Н), которая дает возможность, зная значения независимых переменных R и Н, установить соответствующее значение для V.

Курс лекций Сопротивление материалов