Математика. Контрольные, курсовые и дипломные работы от лучших авторов!

Тройной интеграл Скалярное и векторное поле Геометрический смысл производной Числовые ряды Введение в ТФКП Вычислить интеграл Задачи и примеры Изменить порядок интегрирования Физические приложения тройных интегралов

Курс высшей математики Оглавление

 

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.  

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

  

  Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 

 

 у

  f(x)

 

 

  f(x0 +DxP

  Df

  f(x0M

 

  Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда  тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

 

,

 

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

 

  Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

 

  Уравнение касательной к кривой:  

 

  Уравнение нормали к кривой: .

 Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

  Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

  Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

 

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию f (x) = x + .

Решение. Область определения функции (-, 0)(0, +), в каждом из этих интервалов функция непрерывна. Найдем f'(x) и f''`(x): f `(x) = 1 – , f''(x) = . Теперь найдем критические точки функции, для этого решим уравнение f'(x) = 0:
1 –   = 0, отсюда x1 = –2, x2 = +2 – критические точки. Используем теорему 3 для исследования критических точек, для этого вычислим f''(x) в точках x1 и x2. Так как
f''(–2) = = –1< 0, то x1 = –2 является точкой максимума fмакс(–2) = –2 – = –4. Для x2: f''(2) =  = 1 > 0, поэтому x2 = 2 – точка минимума, fмин(2) = 2 + = 4.

Таким образом, функция f(x) = x +   имеет максимум при x1 = –2, f(–2) = –4 и имеет минимум при x2 = 2, f(2) = 4.

Известно, что если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения и своего наибольшего значения (см. гл. 1). Иногда требуется найти наименьшее или наибольшее значение такой функции.

Если на отрезке [a, b] есть точки минимума и максимума функции f(x) (рис. 2.13), то наименьшее значение функция будет принимать либо в одной из точек минимума, либо на конце отрезка [a, b]. Аналогично для наибольшего значения.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке:

найти критические точки x1, x2, ..., xn функции f(x), принадлежащие отрезку ;

вычислить значения функции f (x) в критических точках и на концах отрезка;

из этих значений выбрать самое большое и самое малое, эти числа и будут наибольшим и наименьшим значениями f(x) на отрезке [a, b].

Экстремум функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f (x)  0 (f (x)  0).

Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x)  f(xо) (f(x)  f(xо)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

купить кроссовки мужские для занятий спортом и повседневной.
Курс лекций Сопротивление материалов