Лекции второго семестра по высшей математике - курс лекций

Курс лекций - первый семестр

Линейная алгебра. Элементы векторной алгебры Аналитическая геометрия Введение в математический анализ Дискретная математика Системы координат Элементы высшей алгебры

Курс лекций - второй семестр
Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная функции, ее геометрический и физический смысл

Односторонние производные функции в точке

Логарифмическое дифференцирование

Дифференциал функции

Формула Тейлора

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора

  Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

 Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

Теоремы о среднем

Теорема Ролля

Теорема Лагранжа

Теорема Коши

Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя

Производные и дифференциалы высших порядков

Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков

Асимптоты

Векторная функция скалярного аргумента

  Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1)      Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2)      Точки разрыва. (Если они имеются).

3)      Интервалы возрастания и убывания.

4)      Точки максимума и минимума.

5)      Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6)      Области выпуклости и вогнутости.

7)      Точки перегиба.(Если они имеются).

8)      Асимптоты.(Если они имеются).

9)      Построение графика

Свойства производной векторной функции скалярного аргумента

Параметрическое задание функции

Производная функции, заданной параметрически

Кривизна плоской кривой

Свойства эволюты

Кривизна пространственной кривой

О формулах Френе

Интегральное исчисление.

Первообразная функция Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией  функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

  Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

Неопределенный интеграл.

  Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

  Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

  Свойства:

1.

2.

3.

4.  где u, v, w – некоторые функции от х.

6.     

Методы интегрирования

Интегрирование элементарных дробей

Интегрирование рациональных функций

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегрирование биноминальных дифференциалов

Определенный интеграл

Вычисление определенного интеграла

Интегрирование по частям

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление объемов тел.

Функции нескольких переменных

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Частные производные высших порядков

Экстремум функции нескольких переменных

Производная по направлению

Градиент

Кратные интегралы

Вычисление двойного интеграла Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и

j £ y, тогда

Тройной интеграл

Цилиндрическая система координат

Геометрические и физические приложения кратных интегралов

Курс лекций - третий семестр

Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения Лагранжа и Клеро Решение задачи Коши методом разделения переменных Ряды Критерий Коши Ряды Фурье Ряды Тейлора и Лорана

Курс лекций - четвертый семестр

Формула Бейеса. Формула Бернулли Распределение Пуассона Теория массового обслуживания Случайные процессы Примеры решения задач Цепи Маркова.

Курс лекций Сопротивление материалов