Математика. Контрольные, курсовые и дипломные работы от лучших авторов!

Тройной интеграл Скалярное и векторное поле Геометрический смысл производной Числовые ряды Введение в ТФКП Вычислить интеграл Задачи и примеры Изменить порядок интегрирования Физические приложения тройных интегралов

Курс лекций по высшей математики Оглавление

Введение в математический анализ.

Числовая последовательность. 

  Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

x1, х2, …, хn = {xn} 

  Общий элемент последовательности является функцией от n.

xn = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

 

  Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

  {xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

 

1)      Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …

2)      Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

3)      Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

4)      Частное последовательностей:  при {yn} ¹ 0.

 

Ограниченные и неограниченные последовательности. 

  Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

 

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

 

  Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

 

xn £ M.

 

  Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

 

xn ³ M

 

  Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

 

 

  Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

 

Это записывается: lim xn = a.

  В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n®¥.

 

  Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

  Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

 

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

 

  Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3,  имеет пределом число 2.

 

  Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {xn} = 2.

 

  Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

 

  Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу.

xn ® a; xn ® ba ¹ b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

 

 

  Теорема. Если xn ® a, то .

 

  Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:

 

, т.е.   , т.е. . Теорема доказана.

  Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.

 

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

 

  Например, последовательностьне имеет предела, хотя

Пример 4. Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически:

 0  t . Найти .

Решение.   =  = –ctgt.

Пример 5. Найти угловой коэффициент k касательной к циклоиде в точке M0, соответствующей значению параметра t0 = .

Решение. Из уравнений циклоиды:  = asint,  = a(1 – cost), поэтому

 =  = .

Угловой коэффициент касательной в точке M0 равен значению  при t0 = :

k = =====+1, k = +1.

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ Понятие о числовых последовательностях. Последовательности как функции на множестве натуральных чисел. Предел последовательности. Бесконечно малые последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е как предел последовательности. Формула вычисления сложных и простых процентов, приближенная формула вычисления сложных процентов. Предел функции. Бесконечно малые функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы и их следствия. Непрерывные функции. Теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения и частного непрерывных функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений, промежуточного значения.

Курс лекций Сопротивление материалов