Математика. Контрольные, курсовые и дипломные работы от лучших авторов!

Тройной интеграл Скалярное и векторное поле Геометрический смысл производной Числовые ряды Введение в ТФКП Вычислить интеграл Задачи и примеры Изменить порядок интегрирования Физические приложения тройных интегралов

Курс лекций по высшей математики Оглавление

 

Аналитическая геометрия в пространстве.  

Уравнение линии в пространстве.

 

  Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

 

F(x, y, z) = 0.

 

  Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

  Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

  Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

  Тогда пару уравнений

назовем уравнением линии в пространстве.

 Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

  Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой.

  На прямой возьмем две произвольные точки М0(x0, y0, z0) и M(x, y, z). 

 

  Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что -  = .

Т.к. векторы и   коллинеарны, то верно соотношение = t, где t – некоторый параметр.

  Итого, можно записать: =  + t.

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

  Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

 Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

.

  Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

 .

 

Отсюда получим: m : n : p = cosa : cosb : cosg.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

Рассмотрим операции над непрерывными функциями.

Теорема 1. Если функции f1(x) и f2(x) непрерывны в точке x0, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x0. Если, кроме того, f2(x0) 0, то частное также непрерывно в точке x0.

Доказательство. Доказательство основано на свойствах пределов. Докажем, например, что сумма непрерывных функций непрерывна. Функции f1(x), f2(x) непрерывны в точке x0, поэтому f1(x) = f1(x0), f2(x) = f2(x0). Применяя теорему о пределе суммы двух функций, получим:

(f1(x) + f2(x)) = f1(x) + f2(x) = f1(x0) + f2(x0),

что означает непрерывность f1(x) + f2(x) в точке x0. Аналогично для других утверждений теоремы. Заметим, что формулуf(x) = f(x0) (определяющую непрерывность функции f(x) в точке x0) можно записать в виде: f(x) = f(x), так как x = x0. Эта формула означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.

Теорема 2. Если функция u = (x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = (x0), то сложная функция y = f((x)) непрерывна в точке x0.

Доказательство. Покажем, что f((x)) = f((x0)). Действительно, из непрерывности функции (x) имеем: (x) = (x0) = u0, т.е. при x x0 следует, что u u0. Далее, из непрерывности функции f(u) получаем:

f((x)) = f(u) = f(u0) = f((x0)).

Теорема доказана.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. Множества и подмножества, их свойства. Конечные множества, комбинаторика. Операции над множествами. Отношения между множествами. ФУНКЦИЯ. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ. ОБРАТНЫЕ И СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ Числа, числовая прямая. Способы задания функции действительного аргумента. График числовой функции. Монотонные, периодические, четные, нечетные функции. Элементарные функции и их графики. Обратная функция. Сложная функция.

Курс лекций Сопротивление материалов