Математика. Контрольные, курсовые и дипломные работы от лучших авторов!

Тройной интеграл Скалярное и векторное поле Геометрический смысл производной Числовые ряды Введение в ТФКП Вычислить интеграл Задачи и примеры Изменить порядок интегрирования Физические приложения тройных интегралов

Курс высшей математики Оглавление

Элементы векторной алгебры

 Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.    

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.  

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.  

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.  Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.  

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.   Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.  

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.  Суммой векторов является вектор -  Произведение - , при этом  коллинеарен . Вектор  сонаправлен с вектором ( ­­), если a > 0. Вектор  противоположно направлен с вектором (­¯), если a < 0. Свойства векторов.  1)  + = +  - коммутативность.  2)  + (+ ) = ( + )+  3)  +  =    4)  +(-1) =   5) (a×b) = a(b) – ассоциативность   6) (a+b) = a + b - дистрибутивность   7) a( + ) = a + a   8) 1× =  

Определение. 1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке. 3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.   Определение. Если  - базис в пространстве и  , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора  в этом базисе. В связи с этим можно записать следующие свойства: - равные векторы имеют одинаковые координаты, - при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число, = . - при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты. ;  + = .

Второй замечательный предел

Ранее рассматривались понятия последовательности (как функции натурального аргумента), предела последовательности (см. разд. 1.3, 1.4).

Рассмотрим возрастающую последовательность:  Для нее  для любого натурального n. Если эта последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела, так как ее члены неограниченно возрастают. Если же возрастающая последовательность ограничена, то она имеет предел. Этот факт доказывается в полных курсах математического анализа [6], мы приведем лишь его полную формулировку.

Теорема 1 (достаточный признак существования предела последовательности)

Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Применим эту теорему для доказательства следующей теоремы.

Теорема 2 (второй замечательный предел)

Существует предел .

Доказательство. Рассмотрим последовательность с общим членом

Покажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная. Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона:

.

Преобразуем по этой формуле , полагая :

.

В полученном выражении:

третье слагаемое 

четвертое =

и т.д., а последнее 

Получаем:

 (*)

Покажем, что последовательность  возрастающая, т.е. :

 (**)

Так как  то  и т.д., поэтому каждое слагаемое (начиная с третьего) из равенства (*) меньше соответствующего слагаемого из равенства (**), кроме того, в равенстве (**) правая часть содержит на одно (положительное) слагаемое больше. Отсюда заключаем, что .

Покажем, что последовательность  ограничена (сверху), т.е.

Если в равенстве (**) каждую из скобок  заменить на 1 (на большее число), то получим неравенство:

Так как  то

.

По формуле суммы геометрической прогрессии имеем:

 поэтому .

Последовательность  возрастает и ограничена сверху, по теореме 1 существует предел, этот предел называют неперовым числом и обозначают через e. Итак,

.

Так как 2 < an < 3, то 2 < an  3, т.е. 2 < e  3. Это число e иррациональное и e  2,718282.

Число e широко используется как основание для показательной функции   (экспонента) и как основание для логарифмов  (натуральные логарифмы).

Рассмотрим (рис. 1.13) функцию y = , которая не определена на отрезке   (подумайте почему?). Ее область определения (–, –1)(0, +).

Известно, что

 и .

Нетрудно показать, что

.

Все записанные пределы объединяются одним названием второго замечательного предела.

Рассмотрим применение второго замечательного предела для вычисления некоторых пределов.

Пример. Найти

Решение. Обозначим: 3n = m, n = . Если n, то m и мы получим:

=

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ. Понятие производной. Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Производная суммы, разности, произведения, частного. Производные элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные высших порядков. Дифференциал функции и его свойства. Теоремы Ферма (необходимый признак экстремума), Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Условия возрастания и убывания функции. Достаточные признаки экстремума функции. Условия выпуклости и вогнутости функции. Применение производной к приближенному решению уравнений. Метод математической индукции. Формула Тейлора.

Курс лекций Сопротивление материалов