Математика. Контрольные, курсовые и дипломные работы от лучших авторов!

Тройной интеграл Скалярное и векторное поле Геометрический смысл производной Числовые ряды Введение в ТФКП Вычислить интеграл Задачи и примеры Изменить порядок интегрирования Физические приложения тройных интегралов

Курс высшей математики Оглавление

Линейная лгебра.

 

Основные определения.

Определение. Матрицей  размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца. А =
Основные действия над матрицами.

 Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

  Определение. Матрица вида: = E, называется единичной матрицей.

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической. Пример. - симметрическая матрица Определение. Квадратная матрица вида  называется диагональной матрицей.  Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. cij = aij ± bij С = А + В = В + А.  Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. a (А+В) =aА ± aВ А(a±b) = aА ± bА Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В. 2А = , 2А + В = .

Пример 3. Доказать, что  = 0 x  (0, +).

Доказательство: f(x) = . Зафиксируем произвольное  > 0, покажем, что найдется такое x0, что для всех x, больших x0: | f(x) – 0 | < . Действительно,

| f(x) – 0 | =  = ;
<   x > .

Обозначим: x0 = , тогда при x > x0: |f(x) – 0 | < , значит,   = 0.

Пусть для некоторой функции y = f(x) f(x )= b, геометрически это означает, что точки графика y = f(x) приближаются к точкам прямой y = b (с той же абсциссой) при неограниченном возрастании x. В этом случае говорят, что прямая y = b является асимптотой графика y = f(x) при x +. Неравенство:
| f(x) – b | <   равносильно двойному неравенству: b –  < f(x) < b + . Из определения предела следует, что по произвольному  > 0 найдется такое x0, что для всех x, больших x0, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми: y = b + , y = b – .

Предел последовательности

Как отмечалось раньше, любая последовательность a1, a2, ..., an , ... есть функция натурального аргумента, an = f(n), n  N. Определение предела последовательности почти дословно повторяет определение предела функции при x®+Ґ

Число b называется пределом последовательности {an}, если для любого  > 0 существует такое натуральное число n0, что для всех натуральных n, больших n0, выполняется неравенство: | an – b | < . Обозначение: an = b.

Доказать самостоятельно, что  = 0.

Предел функции при x -

Пусть функция y = f(x) определена на R или (–, a). Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к – (x  –), если для любого положительного числа  существует такое x0, что для всех x, меньших x0, выполняется неравенство:
| f(x) – b | < . Обозначение: f(x) = b.

Геометрически этот факт означает, что точки графика y = f(x) (рис. 1.5) приближаются как угодно близко к соответствующим точкам прямой y = b при движении x влево неограниченно и что по фиксированному   > 0 найдется число x0, такое, что для всех x, меньших x0, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми:

y = b + , y = b – .

Доказать самостоятельно, что  = 0

Рассмотренные пределы объединяются общим названием «пределы на бесконечности». Не надо думать, что любая функция, определенная на R, имеет предел при x  + или x  –. Например, sinx не существует, так как значения sinx при неограниченном возрастании x периодически меняются от –1 до +1, не приближаясь ни к какому постоянному числу. Аналогично, не существует sinx. Последовательность: a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, ..., an = 2n – 1, ... также не имеет предела.

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ. Понятие производной. Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Производная суммы, разности, произведения, частного. Производные элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные высших порядков. Дифференциал функции и его свойства. Теоремы Ферма (необходимый признак экстремума), Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Условия возрастания и убывания функции. Достаточные признаки экстремума функции. Условия выпуклости и вогнутости функции. Применение производной к приближенному решению уравнений. Метод математической индукции. Формула Тейлора.

Курс лекций Сопротивление материалов