Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия математический анализ

Линейная алгебра

Определители ( детерминанты).

Матрицей  размера m ´ n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы.
Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Аналитическая геометрия Общее уравнение линий второго порядка Типовые расчеты (курсовые задания) по математике

Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы.
Решение произвольных систем линейных уравнений. Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.
Элементарные преобразования систем. К элементарным преобразованиям относятся: 1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю. 2)Перестановка уравнений местами. 3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.
Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик) В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных.

Элементы векторной алгебры

Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Линейная зависимость векторов.

Линейные операции над векторами в координатах

Векторное произведение векторов

Смешанное произведение векторов

Уравнение поверхности в пространстве. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.

Уравнение плоскости в отрезках

Аналитическая геометрия

Уравнение линии на плоскости.Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Угол между прямыми на плоскости

Кривые второго порядка. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами

Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Системы координат Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.

Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Угол между плоскостями

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.

Цилиндрическая и сферическая системы координат. Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно рассмотрена выше.

Линейное (векторное) пространство

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

Квадратичные формы

Введение в математический анализ

Числовая последовательность

Монотонные последовательности.

Связь натурального и десятичного логарифмов.

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Бесконечно малые функции.

Некоторые замечательные пределы.

Непрерывность функции в точке.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Показательная форма комплексного числа.

Комплексные числа.

Разложение многочлена на множители.

Элементы высшей алгебры. Основные понятия теории множеств. 

Отношения и функции.

Элементы комбинаторики. Если из некоторого количества элементов, различных меду собой, составлять различные комбинации, то среди них можно выделить три типа комбинаций, носящих общее название – соединения.

Бином Ньютона. (полиномиальная формула)

 Математическая логика – разновидность формаьной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Булевы функции.

Конечные графы и сети. Основные определения.

Достижимость и связность.

Элементы топологии. Топология изучает понятия непрерывности и близости с абстрактной точки зрения.

Непрерывные отображения.

Формула Тейлора

Формула Тейлора является одной из важнейших формул математического анализа, она имеет очень большое число теоретических и практических применений.

Рассмотрим предварительно следующую задачу: данный многочлен Pn(x) степени n разложить по степеням разности (x – x0) (где x0 – некоторое число), т.е. представить Pn(x) в виде:

Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 +...+ an(x – x0)n. (2.19)

Вычислим коэффициенты: a0, a1, ..., an. Для этого найдем сначала производные от Pn(x):

(x) = a1 + 2a2(x – x0) + 3a3(x – x0)2 + ... + nan(x – x0)n–1;

(x) = 2a2 + 23a3(x – x0) + 34a4(x – x0)2 + ... + (n – 1)nan(x – x0)n–2;

(x) = 23a3 + 234a4(x – x0) + ... + (n – 2)(n – 1)nan(x – x0)n–3;

...; Pn(n)(x) = 12... (n – 1)nan; Pn(n+1)(x) = 0. (2.20)

Полагая в равенствах (2.19), (2.20) x = x0, получим:

Pn(x0) = a0, (x0) = a1, (x0) = 2a2, (x0) = 23a3, ..., Pn(n)(x0) = 12...(n – 1)nan,

откуда находим:

a0 = Pn(x0), a1 = (x0), a2 = , a3 = , ..., an = .

Подставляя найденные значения a0, a1, ..., an в равенство (2.19), получим разложение многочлена Pn(x) по степеням (x – x0):

Pn(x) = Pn(x0) + (x – x0) + (x – x0)2 + ... + (x – x0)n. (2.21)

Формула (2.21) называется формулой Тейлора для многочлена Pn(x) n-й степени.

Пусть функция f(x) имеет производные до (n + 1)-го порядка включительно в некотором промежутке, и число x0 принадлежит этому промежутку.

Поставим задачу: найти многочлен n-й степени Pn(x), такой, чтобы значение Pn(x0) совпадало с f(x0), а значение всех производных для Pn(x) в точке x0 (до n-го порядка) совпадало со значениями соответствующих производных для f(x) в точке x0, т.е.

Pn(x0) = f(x0), (x0) = (x0), (x0) = (x0), ..., Pn(n)(x0) = f (n)(x0).

Тогда по формуле (3) многочлен Pn(x) имеет вид:

Pn(x) = f(x0) + (x – x0) + (x – x0)2 + ... + (x – x0)n. (2.22)

Естественно ожидать, что многочлен Pn(x) будет в некотором смысле «близок» к функции f(x), по крайней мере, около точки x0.

Обозначим: Rn(x) = f (x) – Pn(x), тогда f (x) = Pn(x) + Rn(x). Подставляя вместо Pn(x) его выражение (2.22), получим формулу:

f (x) = f (x0) + (x – x0) + (x – x0)2 +...+ (x – x0)n + Rn(x), (2.23)

которая называется формулой Тейлора для функции f(x), а Rn(x) называется остаточным членом.

Если для некоторого x остаточный член Rn(x) достаточно мал, то формула (2.23) дает приближенное значение для f(x): f(x)  Pn(x), при этом погрешность этого приближения равна: Rn(x). Для оценки Rn(x) применяются специальные формулы, одна из них называется формой Лагранжа и имеет вид:

Rn(x) = (x – x0)n+1, (2.24)

где c – некоторое число, заключенное между x0 и x. Число c можно представить в виде:
c = x0 + (x – x0),  где  – некоторое число, заключенное между 0 и 1, т.е. 0 <  < 1. Тогда формула остаточного члена примет вид:

Rn(x) = (x – x0)n+1, (2.25)

Другая формула для Rn(x) называется формой Коши и имеет вид:

Rn(x) = (x – x0)n+1(1 – )n, (2.26)

где  удовлетворяет неравенству 0 <  < 1.

Вообще говоря, значения  в формулах (2.25) и (2.26) различные. (Вывод этих формул см. [6, с. 186]).

Заметим, что если в формулах Тейлора (2.23) положить n = 0 и остаточный член записать в форме Лагранжа (2.24), то получим формулу: f(x) = f(x0) + (c)(x – x0), откуда приходим к формуле Лагранжа: f(x) – f(x0) = (c)(x – x0). Таким образом, формула Тейлора является обобщением формулы Лагранжа (конечных приращений).

Если в формуле Тейлора (2.23) положить x0 = 0, то получится формула, называемая формулой Маклорена:

f(x) = f(0) + x + x2 + ... + xn + Rn(x), (2.27)

где Rn(x) = xn+1 – остаточный член в форме Лагранжа (0 <  < 1).

Рассмотрим применение формулы Тейлора. Найдем разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора, причем возьмем x0 = 0 (т.е. найдем формулы Маклорена для этих функций).

1) f(x) = ex

Так как (x) = ex, (x) = ex, ..., f (n)(x) = ex и f(0) = 1, (0) = 1, (0) =1, ...,
f (n)(0) = 1, то по формуле (2.27) получаем:

ex = 1 +  +  + ... +  + ex, 0 <  < 1. (2.28)

Если |x|  1, то при n = 8 получаем: R8 <3 <.

Пример 1. Вычислить приближенно число e и оценить погрешность.

Решение. Ранее нами было введено число e как предел последовательности:
e =   и установлено, что 2 < e < 3. Используя формулу (2.28), положив x = 1,
n = 8 имеем: e 1 + 1 +  +  +  +  +  +  +  2,71828, причем погрешность R8(1) не превосходит 0,00001.

2) f (x) = sinx

Найдем производные до (n + 1)-го порядка для f(x) = sinx и их значения при x= 0:

f(x) = sinx, f(0) = 0,

(x) = cosx = sin(x +), (0) = 1,

* (x) = –sinx = sin(x + 2), (0) = 0,

(x) = –cosx = sin(x + 3), (0) = –1,

f (4)(x) = sinx = sin(x + 4), f (4)(0) = 0,

f (n)(x) = sin(x + n), f (n)(0) = sin.

Если n = 2m, m N,  то f (2m)(0) = 0; при n = 2m + 1: f (2m+1)(0) = (–1)m, поэтому

sinx = x –  +  – ... + (–1)m + (–1)m+1cosx. (2.29)

3) Аналогично для функции f(x) = cosx можно получить следующую формулу Маклорена:

cosx = 1 –  +  – ... + (–1)m + (–1)m+1cosx . (2.30)

В последних двух разложениях  |cosx|  1 и потому Rn(x) по абсолютной величине не превосходит  (в формуле (2.29)) или (в формуле (2.30)).

Пример 2. Вычислить приближенно sin200 с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся формулой (2.29), положив x = 200 =  радиан и взяв 2 члена разложения:  sin – = 0,3420, |Rn|   0,0001.

Задания для самостоятельной работы.

Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = cosx (формулу (2.30)).

Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = ln(1+ x).

Вычислить приближенно cos400 и оценить погрешность вычисления, взяв два слагаемых в формуле (2.30).

В следующих разделах мы будем изучать с помощью производных поведение функций. В разд. 2.9 (следствие из теоремы Лагранжа) мы говорили о том, что если производная (x) = 0 на некотором интервале, то функция f(x) постоянна на этом интервале. Теперь будем изучать другие свойства функции.

Курс лекций Сопротивление материалов