Числовые и степенные ряды Дифференциальное уравнение

 

Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов

Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса

Интегральный признак сходимости.

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Условная сходимость. Теорема Лейбница

Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда

Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы

Разложение элементарных функций в степенные ряды

Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Дифференциальное уравнение n-ного порядка.

Свойства линейного однородного дифференциального уравнения

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции

Метод вариации постоянных

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

 

 На рис. 7 изображены графики частичных сумм ряда Фурье  =


= ,  = ,  =  +

+ :

Рис. 7

 5. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке [0, l].

 В этом случае можно доопределить функцию на полуинтервал [–l, 0) либо чётным, либо нечётным образом. В первом случае получится чётная на [–l, l] функция, которая будет раскладываться в ряд Фурье по косинусам, а во втором – нечётная на [–l, l] функция, и её ряд Фурье будет содержать только синусы. В обоих случаях на отрезке [0, l] эти ряды дадут разложение исходной функции в ряд Фурье.

 Пример 4. Разложить функцию f (x) = x, заданную на отрезке [0, π], доопределив её чётным образом на полуинтервал [–π, 0).

 В результате получим чётную функцию φ (x); для x < 0 будет φ (x) =

= φ (–x) = f (–x) = –x, следовательно, φ (x) = |x| на [–π, π]. Разложение этой функции было сделано в примере 2, и оно одновременно является разложением f (x) = x на отрезке [0, π].

 Пример 5. Разложить функцию f (x) = x + 1, заданную на отрезке [0, 2], в ряд Фурье, продолжив её нечётным образом на полуинтервал [-2,0)


Рис. 8

 В результате получим нечётную функцию φ (x); для x < 0 будет φ (x) = – φ (–x) = – f (–x) = x – 1, следовательно, φ (x) =   Эта функция непрерывна на [–2, 2] за исключением точки x = 0, в которой она имеет разрыв первого рода, т. е. удовлетворяет условиям Дирихле:

φ (x) = ,

где   =

 = . Таким образом,

φ (x) = .

В этот ряд одновременно разложена заданная на [0, 2] функция f (x) = x + 1.

 Замечание: Можно также разложить f (x) и на отрезке [0, l], но тогда в разложение войдут члены ряда и с синусами, и с косинусами, а сумма ряда будет периодической функцией с периодом T = l.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Лекция № 44. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости

  1.1. Числовой ряд и его сумма

Определение 1. Пусть дана числовая последовательность . Образуем выражение

  (1)

которое называется числовым рядом. Числа  называются членами ряда, а выражение    общим членом ряда.

Пример 1. Найти общий член ряда .

При ,

при ,

при  

Нетрудно заметить, что общий член ряда

Поэтому искомый ряд можно записать  следующим образом

.

Построим из членов ряда (1) последовательность таким образом:

;

 … 

.

Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соот-ветствующего числа первых членов числового ряда.

Определение 2. Сумма первых п членов ряда (1) называется n-ой частичной суммой числового ряда.

Определение 3. Числовой ряд  называется сходящимся, если , где число  называется суммой ряда, и пишут . Если

предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд .

Для того, чтобы вычислить n-ю частичную сумму  представим общий член  ряда  в виде суммы простейших дробей

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффици-ентов А и В

Отсюда находим, что , а .

Следовательно, общий член ряда имеет вид  

Тогда частичную сумму  можно представить в виде

.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, она примет вид 

.

Вычислим сумму ряда

Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд  

 бесконечную геометрическую прогрессию.

Как известно, сумма первых п членов геометрической прогрессии при q  1 равна .

Тогда имеем следующие случаи:

1. Если , то  

2. Если , то , т.е. ряд расходится.

3. Если , то ряд имеет вид   и тогда , т.е. ряд расходится.

4. Если , то ряд имеет вид   и тогда , если частичная сумма имеет четное число членов и , если нечётное число, т.е.  не существует, следовательно, ряд расходится.

Определение 4. Разность между суммой ряда S и частичной суммой   называется остатком ряда и обозначается , т.е. .

Так как для сходящихся рядов , то ,

т.е.   будет б.м.в. при . Таким образом, значение  является приближенным значением суммы ряда.

Из определения суммы ряда следуют свойства сходящихся рядов:

 1. Если ряды  и  сходятся, т.е. имеют соответственно суммы S и Q, то сходится ряд , где , а его сумма равна A S + B Q.

  2. Если сходится ряд , то сходится и ряд, полученный из данного

ряда отбрасыванием или добавлением конечного числа членов. Верно и обратное.

Отключение сигнализации автомобиля с выездом awtomsk.ru/content/отключение-сигнализации.
Курс лекций Сопротивление материалов