Числовые и степенные ряды Дифференциальное уравнение

Атомные станции России
Смоленская АЭС
Курская АЭС
Калининская АЭС
Кольская АЭС
Ростовская АЭС
Нововоронежская АЭС
Ленинградская АЭС
Билибинская АЭС
Белоярская АЭС
Балаковская АЭС
Безопасность АЭС
Экология
Модернизация АЭС
Перспективы
Соцкультбыт
Типы атомных станций
  • с реакторами РБМК 1000
  • с реакторами ВВЭР
  • с реакторами БН-600
  • Атомная энергетика
    Первая в мире атомная электростанция
    Юбилей Атомной энергетики
    Российские атомные ледоколы
    Ядерные реакторы
     
  • Ядерные топливные циклы
  • Безопасность АЭС
  • История атомной энергетики
  • Канальный кипящий графитовый реактор
  • Реакторы водо-водяного типа
  • Реакторы на быстрых нейтронах
  • Сравнение различных типов энергетических
    ядерных реакторов
  • Реакторы третьего поколения ВВЭР-1500
  • Безопасный быстрый реактор РБЕЦ
  • Энергетическая установка ГТ-МГР
  • ВАО АЭС
  • Импульсные реакторы 
  • Реактор БИГР (быстрый
    импульсный графитовый реактор)
  • Атомные батареи в космосе
  • Излучатели нейтронов
  • Изотопные источники электронов
  • Первый бетатрон для ускорения
    электронов
  • Альтернативная энергетика
    Курсовые проекты по ядерным реакторам
    Испытания ядерного оружия
     
  • Ядерные испытания том 1
  • Ядерные испытания том 2
  • Ядерное разоружение
  • Ядерное оружие
  • Ядерные испытания в Артике
     
  • Арктический ядерный полигон
  • Создание полигона
  • Подводные ядерные взрывы
  • Испытание оперативно-тактической
    ракеты
  • Аварии на ядерных реакторах
     
  • Чернобыльская катастрофа
  • Чернобыльская АЭС
  • Космические ядерные аварии
  • Курс Атомная энергетика
    Книга Укращение ядра
    Теплоэнергетика
    Малая теплоэнергетика
    Машиностроительное черчение
    и инженерная графика
    Приемы выполнения графических работ
    Инженерная графика
    Разъемные и неразъемные соединения
    Виды соединения деталей
    Работа в AutoCAD при выполнении чертежа
    Инженерная графика
    Аксонометрическая проекция
    Техническое черчение
    Компас-3d
    Лабораторные работы
    и задачи по электротехнике
    Трехфазные цепи
    Методы расчета электрической цепи
    Соединение нагрузки треугольником
    Преимущества трезфазных систем
    Расчет симметричных режимов работы
    трехфазных систем
    Расчет разветвленных однофазных цепей
    Расчет разветвленной магнитной цепи
    Математика
    Математика решение задач
    Линейная алгебра
    Дифференциальное исчисление
    Дифференциальные уравнения
    Теория вероятностей
    Математический анализ
    Геометрический смысл производной
    Числовые ряды
    функции комплексного переменного
    Вычислить интеграл Задачи и примеры
    Поверхностные и кратные интегралы
    Физические задачи

    Билеты к экзамену по высшей математике

    Компьютерная математика Mathematica
    Maple
    Матричная лаборатория MATLAB
    Физика
  • Электротехника
  • Кинематика, динамика, термодинамика
  • Электростатика, Магнетизм
  • Волновая и квантовая оптика
  • Физика в конспективном изложении
  • Законы геометрической оптики
  • Механизм ядерных реакций
  • Электромагнитные колебания
  • Ядерная физика
  • Строение и общие свойства атомных ядер
  • Модели атомных ядер
  • Радиоактивные превращения ядер
  • Ядерные реакции
  • Деление ядер
  • Курс Физика ядра и частиц
  • Сопротивление материалов
    Лабораторные работы по сопромату
  • Исследовать рабочую систему
    механизма редуктора
  • Лабораторные работы по сопромату
  • Содержание и задачи курса
    сопротивление материалов
  • Техническая механика
  • Балочные системы
  • Чертежи
  • Основные типы подшипников качения
  • Дизайн
     
  • Дизайн в промышленности
  • Западный и российский дизайн
  • История дизайна
  • Эргономика
  • Архитектура и проектирование
    промышленных изделий
  •  
    История искусства
    Техника иконописания
    Сюжеты древнерусской живописи
    Баухауз
    Информатика
    Информатика
    Турбо Паскаль
    Visual Studio
    Visual Foxpro
    Visual Basic
    CorelDRAW

    Новая технология .NET

     

     

    Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов

    Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса

    Интегральный признак сходимости.

    Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов

    Условная сходимость. Теорема Лейбница

    Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса

    Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда

    Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы

    Разложение элементарных функций в степенные ряды

    Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости

    Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения.

    Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

    Дифференциальное уравнение n-ного порядка.

    Свойства линейного однородного дифференциального уравнения

    Линейная зависимость функций. Определитель Вронского

    Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

    Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции

    Метод вариации постоянных

    Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

    Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

     

     На рис. 7 изображены графики частичных сумм ряда Фурье  =


    = ,  = ,  =  +

    + :

    Рис. 7

     5. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке [0, l].

     В этом случае можно доопределить функцию на полуинтервал [–l, 0) либо чётным, либо нечётным образом. В первом случае получится чётная на [–l, l] функция, которая будет раскладываться в ряд Фурье по косинусам, а во втором – нечётная на [–l, l] функция, и её ряд Фурье будет содержать только синусы. В обоих случаях на отрезке [0, l] эти ряды дадут разложение исходной функции в ряд Фурье.

     Пример 4. Разложить функцию f (x) = x, заданную на отрезке [0, π], доопределив её чётным образом на полуинтервал [–π, 0).

     В результате получим чётную функцию φ (x); для x < 0 будет φ (x) =

    = φ (–x) = f (–x) = –x, следовательно, φ (x) = |x| на [–π, π]. Разложение этой функции было сделано в примере 2, и оно одновременно является разложением f (x) = x на отрезке [0, π].

     Пример 5. Разложить функцию f (x) = x + 1, заданную на отрезке [0, 2], в ряд Фурье, продолжив её нечётным образом на полуинтервал [-2,0)


    Рис. 8

     В результате получим нечётную функцию φ (x); для x < 0 будет φ (x) = – φ (–x) = – f (–x) = x – 1, следовательно, φ (x) =   Эта функция непрерывна на [–2, 2] за исключением точки x = 0, в которой она имеет разрыв первого рода, т. е. удовлетворяет условиям Дирихле:

    φ (x) = ,

    где   =

     = . Таким образом,

    φ (x) = .

    В этот ряд одновременно разложена заданная на [0, 2] функция f (x) = x + 1.

     Замечание: Можно также разложить f (x) и на отрезке [0, l], но тогда в разложение войдут члены ряда и с синусами, и с косинусами, а сумма ряда будет периодической функцией с периодом T = l.

    ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

    Лекция № 44. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости

      1.1. Числовой ряд и его сумма

    Определение 1. Пусть дана числовая последовательность . Образуем выражение

      (1)

    которое называется числовым рядом. Числа  называются членами ряда, а выражение    общим членом ряда.

    Пример 1. Найти общий член ряда .

    При ,

    при ,

    при  

    Нетрудно заметить, что общий член ряда

    Поэтому искомый ряд можно записать  следующим образом

    .

    Построим из членов ряда (1) последовательность таким образом:

    ;

     … 

    .

    Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соот-ветствующего числа первых членов числового ряда.

    Определение 2. Сумма первых п членов ряда (1) называется n-ой частичной суммой числового ряда.

    Определение 3. Числовой ряд  называется сходящимся, если , где число  называется суммой ряда, и пишут . Если

    предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.

    Пример 2. Проверить на сходимость ряд .

    Для того, чтобы вычислить n-ю частичную сумму  представим общий член  ряда  в виде суммы простейших дробей

    Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффици-ентов А и В

    Отсюда находим, что , а .

    Следовательно, общий член ряда имеет вид  

    Тогда частичную сумму  можно представить в виде

    .

    После раскрытия скобок и приведения подобных членов, она примет вид 

    .

    Вычислим сумму ряда

    Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.

    Пример 2. Проверить на сходимость ряд  

     бесконечную геометрическую прогрессию.

    Как известно, сумма первых п членов геометрической прогрессии при q  1 равна .

    Тогда имеем следующие случаи:

    1. Если , то  

    2. Если , то , т.е. ряд расходится.

    3. Если , то ряд имеет вид   и тогда , т.е. ряд расходится.

    4. Если , то ряд имеет вид   и тогда , если частичная сумма имеет четное число членов и , если нечётное число, т.е.  не существует, следовательно, ряд расходится.

    Определение 4. Разность между суммой ряда S и частичной суммой   называется остатком ряда и обозначается , т.е. .

    Так как для сходящихся рядов , то ,

    т.е.   будет б.м.в. при . Таким образом, значение  является приближенным значением суммы ряда.

    Из определения суммы ряда следуют свойства сходящихся рядов:

     1. Если ряды  и  сходятся, т.е. имеют соответственно суммы S и Q, то сходится ряд , где , а его сумма равна A S + B Q.

      2. Если сходится ряд , то сходится и ряд, полученный из данного

    ряда отбрасыванием или добавлением конечного числа членов. Верно и обратное.

    Курс лекций Сопротивление материалов