Ядерные реакторы
РБМК 1000
Математика
Курсовые
Альтернативная энергетика
ВВЭР
Информатика
Черчение

Теплоэнергетика

Реактор БН
Сопромат
Электротехника
Ядерная физика
Ядерное оружие
Графика
Карта

Курс лекций математического анализа Оглавление

Два замечательных предела.

Покажем, что  (1) Где х – измеряется в радианах.

  Рассмотрим окружность радиуса R=1 и центральный угол


  A   Х  0 С В D
 т.к. хорда окружности меньше стягиваемой ею дуги, т.е. , откуда , т.е. , для

С другой стороны площадь кругового сектора ОАВ меньше площади .  или . Поэтому  для  т.к.  для  или

 (2) Эти последние неравенства не изменятся при замене х на –х, т.е. они будут справедливы в проколотой  - окрестности т. х=0. Пусть   - произвольная точка комплексной плоскости. Представим  в виде многочлена по степеням  (как мы делали это в разделе 7.7.1. Формула Тейлора для многочленов):

Так как функция  непрерывна в т. х=0, т.е. , то из неравенств (2) с учетом теоремы о lim двух легавых вытекает формула (1).

Примеры: 1) 

2) 

Т.е. формула (2) полностью доказана.  Полагая в формуле 2  (если ) и применяя теорему о замене переменной в пределе получим другое представление 2 замечательного предела:  (2)  

Следствия: 1)  (3) - третий замечательный предел. Запишем второй замечательный предел по формуле (2и прологарифмируем его по основанию e:  здесь  так как функция ln(u) непрерывна в точке u=e, то переставляя местами знак предела и знак непрерывной функции получим:  или 2)  (4) здесь  в частности при  

 Положим Откуда ; при  т.к. показательная функция  непрерывна в точке Пользуясь теоремой о замене переменной в пределе и формулой (3) имеем

Полагая в формуле (4) a=e приходим к формуле (4) 3)

Пример 9. Найти предел

Решение. Обозначим  Если  - чётное, , то  Если - нечётное, , то

Таким образом, при любом   Поскольку  то .

Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие для вузов.- М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2002.- 558 с.

Ляшко И.И., Боярчук А.А., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах, ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл. – Киев, Издательское объединение «Вища школа», 1974.-680 с.

Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты: Учебное пособие. 3-е изд., испр.-СПб.: Издательство «Лань», 2005. -240 с.

Кузнецова М.Г. Типовой расчёт по высшей математике: Пределы.- Ульяновск: УлПИ, 1987.- 24 с.

Инженерная графика

 

Сопромат