Ядерные реакторы
РБМК 1000
Математика
Курсовые
Альтернативная энергетика
ВВЭР
Информатика
Черчение

Теплоэнергетика

Реактор БН
Сопромат
Электротехника
Ядерная физика
Ядерное оружие
Графика
Карта

Курс лекций математического анализа Оглавление

Пределы и непрерывность функции.
Предел функции в точке

Определение 1. (по Гейне) Постоянное число А называется пределом функции f(x) в точке  (или при ) если для  последовательности  такой, что  и  соответствующая последовательность значений функций  сходится А. Пишем:

Определение 2. (по Коши) Постоянное число А называется пределом функции  в точке  (или при ) если для произвольного числа  найдется число  такое, что из условия  (1) вытекает неравенство . Определение 2. (в кванторах)

Комментарий к определению по Коши. Означает, что значение функции  будут как угодно мало отличаться от постоянного числа А, если только соответствующее значение аргумента близки к . Доказывается что определения 1 и 2 эквивалентны. Геометрическая интерпретация определения по Коши. Т.к. неравенство (1) равносильно:  то какова бы ни была полоса, ограниченная прямыми  и , найдется интервал , такой что все точки графика  с абсциссами из этого интервала (кроме быть может точки с абсциссами ) окажутся внутри данной полосы

Комплексным числом  будем называть упорядоченную пару действительных чисел , записанную в форме , где - новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем .

 Первая компонента комплексного числа , действительное число , называется действительной частью числа , это обозначается так: ; вторая компонента, действительное число , называется мнимой частью числа : .


   

Подчеркнем, что определение Коши не требует, что бы функция  была определена в точке , поэтому в определении речь идет о проколотой  - окрестности точки  -  (окрестность точки  радиуса ). . ( - показывает что ).

Примеры:I. , рассмотрим две последовательности  ясно, что первая последовательность стремится к 0 при  и вторая так же стремиться к 0 при . Но: ; Очевидно, , . Видим, что соответствующие последовательности значений функций имеют разные пределы . Таким образом определение Гейне не удовлетворяет. Следовательно функция  в точке  предела не имеет.

II.    При  имеем: Выбираем произвольно  и положим , тогда  влечет или в символах: , т.е. . Видим, что предел функции в точке x=3 существует, а значение функции в этой точке тут совершенно ни при чем. Мы могли бы придать функции значение или не придавать никакое.

Непрерывность функции в точке.

Определение 2. Функция  называется непрерывной в точке  если:  (2). Это определение предъявляет функции  следующие требования:1) функция  должна быть определена в точке  и некоторой ее окрестности.2) Функция  должна иметь в точке  предел.3) Этот предел должен совпадать со значением функции в точке . Определение 2 означает, что для непрерывности в точке  функции знаки lim и f функции перестановочны, т.е. . Предел функции равен функции от предела аргумента. Если хотя бы одно из трех требований предъявляемым к функции  в определении 2 не выполняется, то говорят, что функция  разрывна в т. или имеет в т.  разрыв; при этом предполагается, что функция  определена в некоторой окрестности  кроме быть может т.. Тогда т.  - называется точкой разрыва функции .

Определение 2 аналитически выражает интуитивное представление о непрерывности графика функции т.е. кривой . Например такую кривую можно провести отрывая карандаша от бумаги.  x На рисунке:   тогда , т.е. Возвращаясь к функции , можем сказать, что в точке  нарушается сразу 2 условия непрерывности (неопределенность в т.  и не имеет предела в этой точке). Поэтому данная функция разрывна в т. . Возвращаясь к пример 2 видим, что для данной функции нарушается 3 условие непрерывности, поэтому функция разрывна. Если бы мы придали функции  в точке  значение 2, то измененная таким образом функция оказалась бы непрерывной в т. .

Пример 5. Найти предел 

Решение. Имеем неопределённость.Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к числителю и воспользуемся формулой (3); далее разделим числитель и знаменатель на :

  Теперь воспользуемся арифметическими свойствами предела и тем, что  при

 

Замечание. Сразу после (6) можно было записать, поскольку показатели степени слагаемых в знаменателе  и  равны 3, следовательно, старшая степень знаменателя есть  и коэффициент при  равен 2 (на языке асимптотического поведения функций выражение в знаменателе эквивалентно , то есть

,  эквивалентно , а при вычислении пределов величины можно заменять на эквивалентные, см. с. ).

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие для вузов.- М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2002.- 558 с.

Ляшко И.И., Боярчук А.А., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах, ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл. – Киев, Издательское объединение «Вища школа», 1974.-680 с.

Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты: Учебное пособие. 3-е изд., испр.-СПб.: Издательство «Лань», 2005. -240 с.

Кузнецова М.Г. Типовой расчёт по высшей математике: Пределы.- Ульяновск: УлПИ, 1987.- 24 с.

Инженерная графика

 

Сопромат