Ядерные реакторы
РБМК 1000
Математика
Курсовые
Альтернативная энергетика
ВВЭР
Информатика
Черчение

Теплоэнергетика

Реактор БН
Сопромат
Электротехника
Ядерная физика
Ядерное оружие
Графика
Карта

Курс лекций математического анализа Оглавление

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.

I. т.к. , для , то формула Маклорена имеет вид . (8) На любом отрезке , где  в силу того, что: , т.е. , получаем следующую оценку следующего члена  (9)

Полагая здесь x=r=1 имеем оценку погрешности приближенного вычисления числа e  (9) II. т.к. ,  то формула Маклорена имеет вид ; (10). Здесь n – нечетное число x в радианах.

Очевидно, что на любом отрезке  справедлива следующая оценка остаточного члена:  (11) III. Т.к. ; , то формула Макло-рена имеет вид: ; (12). Здесь n – четное число на любом отрезке  имеет очевидно для остаточного члена оценку (11). IV. Т.к. , то формула Маклорена имеет вид:  (13) где остаточный член имеет вид:  в форме Лагранжа. (14) для значений  имеем оценку, переходя в (14) к модулям: ; (15) Для значений  можно доказать, что имеет место оценка:  (16).

V. , где Т.к , то формула Маклорена имеет вид: ; (17) В частности когда  (натуральное число), то получаем формулу бинома Ньютона: .

Примеры:

1) Вычислить приближенно  с помощью дифференциала и оценить погрешность этого приближения. Запишем теперь формулу Тейлора с n=1  (положим здесь a=60°, x=61°, тогда ) имеем: предыдущее вычисление проведено с точностью до одной тысячной, таким образом  с точностью 0,001.2) при каких x справедливо с точностью до 0б0001 приближенная формула . Погрешность этой приближенной формулы согласно (12) , откуда:  таким образом приближенная формула при заданной точности вычислений, справедлива для таких x, что 3) Вычислить  с точностью 0,001  здесь   Оценивая остаточный член в формуле (17) , находим, что достаточно взять n=2; тогда:  и |проделывая это и округляя до 3-го знака| » 2,926 (с точностью до 0,001). Локальные формулы Тейлора. Локальная формула Тейлора-Маклорена позволяет эффективно исследовать поведение функции в окрестности данной точки, в частности вычисляя запишем ее для элементарной функций + (асимптотическое разложение).I. II. III. IV. V.

Вычислить: Имеем:

Пример 20. Найти предел .

Решение. Дважды применим приём умножения на сопряжённое выражение.

 

, поскольку  при .

 

Далее, 

.

Пример 21. Найти предел a.

Решение. Применим формулу (5) , положив в ней , . Умножив числитель и знаменатель исходной дроби на выражение  и учитывая, что оно стремится к 5, получаем:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Дробь, стоящую под знаком интеграла, представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами: .

2) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда значения этих многочленов равны при любом значении переменной х.

В этом примере воспользуемся первым критерием равенства многочленов. Раскрывая скобки, получим . В многочленах справа и слева приравняем коэффициенты при х и свободные члены.

Инженерная графика

 

Сопромат