Ядерные реакторы
РБМК 1000
Математика
Курсовые
Альтернативная энергетика
ВВЭР
Информатика
Черчение

Теплоэнергетика

Реактор БН
Сопромат
Электротехника
Ядерная физика
Ядерное оружие
Графика
Карта

Курс лекций математического анализа Оглавление

Теорема Тейлора.

Пусть функция   имеет в некоторой окрестности конечной точки a производные до порядка  включительно, xлюбое значение аргумента из указанной окрестности  тогда между точками a и x найдется точка x такая, что (5) многочлен Тейлора функции Формула (5) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:; , формула Тейлора с центром в точке a. Формулу Тейлора часто записывают в другом виде.

Положим . , отсюда при n=0 получается формула Лагранжа .

Таким образом формула Тейлора обобщает формулу Лагранжа. Покажем, что если функция  ограничена в окрестности точки a, то остаточный член формулы Тейлора есть БМ более высокого малости, чем  при т.о. ; (при ) (6). Остаточный член (6) называется остаточным членом в форме Пеано, а формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано называется локальной формулы Тейлора.

Формула Тейлора при a=0 (с центром в 0) называется формулой Маклорена. . (7) Где остаточный член имеет: в форме Лагранжа   в форме Пеано .

Пример 19. Найти предел

 .

Решение. Имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение, умножив его числитель и знаменатель на множитель , сопряжённый к числителю.

Поскольку , то

.

 

Пример 20. Найти предел .

Решение. Подставив х=1 в выражения в числителе и знаменателе, убеждаемся в том, что имеется неопределённость вида . Воспользуемся формулами (3), (4). Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на множитель , дополняющий числитель до разности кубов (неполный квадрат суммы), и на множитель , сопряжённый к знаменателю. Получаем

 Поскольку , , то

 .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Дробь, стоящую под знаком интеграла, представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами: .

2) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда значения этих многочленов равны при любом значении переменной х.

В этом примере воспользуемся первым критерием равенства многочленов. Раскрывая скобки, получим . В многочленах справа и слева приравняем коэффициенты при х и свободные члены.

Инженерная графика

 

Сопромат