Математика. Контрольные, курсовые и дипломные работы от лучших авторов!

Тройной интеграл Скалярное и векторное поле Геометрический смысл производной Числовые ряды Введение в ТФКП Вычислить интеграл Задачи и примеры Изменить порядок интегрирования Физические приложения тройных интегралов

Курс лекций математического анализа Оглавление

Логарифмическое дифференцирование.

Определение.  Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная ее логарифма. тогда производная функции y=f(x) может быть найдена так: . Рассмотрим степенную функцию   Имеем   тем самым формула (7) доказана. Применив прием логарифмического дифференцирования, мы можем вычислить производную показательно-степенной функции . Имеем, функции u(x) v(x) дифференцируемыми в т. x, а функцию u(x)>0 в некоторой окрестности т.x:  (23).

Правило логарифмического дифференцирования рекомендуется применять на практике при дифференцировании произведения многих сомножителей. Дифференцирование неявной функции. Рассмотрим уравнение F(x,y)=0 относительно y. При некоторых условиях это уравнение определяет единственную функцию  называемая неявной функцией, задаваемая исходной функцией. Тогда . при дифференцировании применим теорему о производной сложной функции. В результате получиться линейное уравнение относительно y’ уравнение, решая которое находим y’.

 Примечания.1) Если производные  и  удовлетворяют всем условиям доказанной теоремы, то правило Лопиталя-Бернули может быть повторено

2) Правило Лопиталя остается оправданным если .

3) Предел отношения функции  может $ и без того, чтобы $ предел относительно их производных.

4) Правило Лопиталя-Бернули остается в силе, когда  и   при . Итак, правило Лопиталя-Бернули, когда оно применимо позволяет раскрыть неопределенности типов: и .

5) Сравнение при помощи правила Лопиталя-Бернули поведения при  функции: показательно , степенной  и логарифмической  показывают, что показательная функция имеет более высокий порядок роста, чем степенная – более высокий порядок роста чем логарифмическая. .

Другие типы неопределенностей.

1)

 или же  и применяется правило Лопеталя-Бернули.

2) , если при ,  - ББ при , если же  при , то имеем неопределенность типа . Неопределенности типов  раскрываются с помощью предварительного логарифмирования и вычисления предела логарифма функции  что приводит к неопределенности типа .

 Примеры. 1)

2)

. Рассмотрим: |это отношение не имеет предела при | правило Лопиталя-Бернули не применимо. Найдем предел А непосредственно. 0

Пример 17. Доказать (найти d(e)), что .

 Решение. Заметив, что квадратный трёхчлен  имеет корни  и , упростим исходное выражение:

.

Тогда соответствующая часть формулы (9) из определения предела функции принимает вид e. Это неравенство будет выполняться, если . Следовательно, можно взять .

 Пример 18. Найти предел .

Решение. При  многочлены в числителе и знаменателе исходного выражения обращаются в нуль, следовательно, их пределы в точке  равны нулю и мы имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение. Разложим многочлены в его числителе и знаменателе на множители, воспользовавшись тем, что   является их корнем, с помощью группировки слагаемых или разделив их на х-2:

 ,  .

Получаем   Мы снова имеем неопределённость, так как при х=2 числитель и знаменатель последней дроби обращаются в нуль. Разлагаем их на множители, сокращаем и находим искомый предел: .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Дробь, стоящую под знаком интеграла, представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами: .

2) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда значения этих многочленов равны при любом значении переменной х.

В этом примере воспользуемся первым критерием равенства многочленов. Раскрывая скобки, получим . В многочленах справа и слева приравняем коэффициенты при х и свободные члены.

Курс лекций Сопротивление материалов