Ядерные реакторы
РБМК 1000
Математика
Курсовые
Альтернативная энергетика
ВВЭР
Информатика
Черчение

Теплоэнергетика

Реактор БН
Сопромат
Электротехника
Ядерная физика
Ядерное оружие
Графика
Карта

Курс лекций математического анализа Оглавление

Логарифмическое дифференцирование.

Определение.  Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная ее логарифма. тогда производная функции y=f(x) может быть найдена так: . Рассмотрим степенную функцию   Имеем   тем самым формула (7) доказана. Применив прием логарифмического дифференцирования, мы можем вычислить производную показательно-степенной функции . Имеем, функции u(x) v(x) дифференцируемыми в т. x, а функцию u(x)>0 в некоторой окрестности т.x:  (23).

Правило логарифмического дифференцирования рекомендуется применять на практике при дифференцировании произведения многих сомножителей. Дифференцирование неявной функции. Рассмотрим уравнение F(x,y)=0 относительно y. При некоторых условиях это уравнение определяет единственную функцию  называемая неявной функцией, задаваемая исходной функцией. Тогда . при дифференцировании применим теорему о производной сложной функции. В результате получиться линейное уравнение относительно y’ уравнение, решая которое находим y’.

 Примечания.1) Если производные  и  удовлетворяют всем условиям доказанной теоремы, то правило Лопиталя-Бернули может быть повторено

2) Правило Лопиталя остается оправданным если .

3) Предел отношения функции  может $ и без того, чтобы $ предел относительно их производных.

4) Правило Лопиталя-Бернули остается в силе, когда  и   при . Итак, правило Лопиталя-Бернули, когда оно применимо позволяет раскрыть неопределенности типов: и .

5) Сравнение при помощи правила Лопиталя-Бернули поведения при  функции: показательно , степенной  и логарифмической  показывают, что показательная функция имеет более высокий порядок роста, чем степенная – более высокий порядок роста чем логарифмическая. .

Другие типы неопределенностей.

1)

 или же  и применяется правило Лопеталя-Бернули.

2) , если при ,  - ББ при , если же  при , то имеем неопределенность типа . Неопределенности типов  раскрываются с помощью предварительного логарифмирования и вычисления предела логарифма функции  что приводит к неопределенности типа .

 Примеры. 1)

2)

. Рассмотрим: |это отношение не имеет предела при | правило Лопиталя-Бернули не применимо. Найдем предел А непосредственно. 0

Пример 17. Доказать (найти d(e)), что .

 Решение. Заметив, что квадратный трёхчлен  имеет корни  и , упростим исходное выражение:

.

Тогда соответствующая часть формулы (9) из определения предела функции принимает вид e. Это неравенство будет выполняться, если . Следовательно, можно взять .

 Пример 18. Найти предел .

Решение. При  многочлены в числителе и знаменателе исходного выражения обращаются в нуль, следовательно, их пределы в точке  равны нулю и мы имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение. Разложим многочлены в его числителе и знаменателе на множители, воспользовавшись тем, что   является их корнем, с помощью группировки слагаемых или разделив их на х-2:

 ,  .

Получаем   Мы снова имеем неопределённость, так как при х=2 числитель и знаменатель последней дроби обращаются в нуль. Разлагаем их на множители, сокращаем и находим искомый предел: .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Дробь, стоящую под знаком интеграла, представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами: .

2) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда значения этих многочленов равны при любом значении переменной х.

В этом примере воспользуемся первым критерием равенства многочленов. Раскрывая скобки, получим . В многочленах справа и слева приравняем коэффициенты при х и свободные члены.

Временами молодым людям приходится заняться сексом с профессионально очаровательными проститутками. Они проститутки Геленджика предлагают вам воспользоваться своими услугами интимного характера. | Вы имеете существование звякнуть шикарной проститутке в абсолютно любое время ночи, она будет очень рада вашему звонку. Вообще-то хорошие проститутки уже готовы испытать удовольствие с вами и сделать этот секс наилучшем.

Инженерная графика

 

Сопромат