Ядерные реакторы
РБМК 1000
Математика
Курсовые
Альтернативная энергетика
ВВЭР
Информатика
Черчение

Теплоэнергетика

Реактор БН
Сопромат
Электротехника
Ядерная физика
Ядерное оружие
Графика
Карта

Курс лекций математического анализа Оглавление

Правила дифференцирования обратной функции.

Теорема

Пусть функции y=f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы о  обратной функции  и имеет в точке  производную , тогда обратная функция  так же имеет производную в соответствующей точке  и справедлива формула  (6).
 Дадим аргументу y обр. ф-ции в точке  приращение  тогда в силу строгой монотонности обр. ф-ции ее приращение  в точке  будет отлично от 0 и поэтому можно записать . Перейдем в этом равенстве к пределу при  (при этом  в силу непрерывности функции y=f(x) в т. ).  Следовательно предел слева также  и по определению производной есть производная . Окончательно: . Геометрическая иллюстрация.  имеем:

 

 

Производные основных элементарных функций. 1. , где   (7) эта формула будет доказана позже. 2.

; (8)  (9)
формулы (8) и (9) доказываются с помощью определения производной, 1 замечательного предела и непрерывности функции cos(x) и sin(x) соответственно. 3.
y=tg(x); где y=ctg(x)

Формулами (10) и (11) доказываются с использованием правила дифференцирования частного и формул (8) и (9). 4.  где   (12) ; перейдем к lim при  пусть  при   (2-ой замечательный предел).

 

Поэтому с учетом непрерывности логарифмической функции  или , если a=e . . 5.

y=arcsin(x)  (13) y=arccos(x)  (14)
 т.к. на    то корень арифметический по теореме о производной обратной функции  (13). Формула (14) доказывается аналогично или с помощью 6.
y=arctg(x)  (15) y=arcctg(x)  (16)

 по теореме о производной обратной функции . Формула (16) доказывается аналогично. 7.  где  по теореме о производной обратной функции имеем  таким образом ;  (17).

В частности, если a=e,  (18). 8.

y=sh(x)  (19) y=ch(x)  (20)
  Доказательство формулы (20). Имеем . Формула (19) доказывается аналогично. 9.
 (21)  (22)

При доказательстве используется производная частного, а потом формулы (19) и (20).

Пример 16. Последовательность  определяется следующим образом:

 

  Найти .

Решение. Оценим разность между  и числом , являющимся корнем уравнения . Применяя полученное неравенство к разности  и т.д., получим .

Поскольку , то  и .

 Предел функции

Пусть Е- некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел,   – предельная точка множества Е, - функция, определённая на Е.

 Определение. Число  называется пределом функции  в точке , если 

 ed>0  d Þ  e). (9)

Предел функции в точке  обозначается символом . Во всех рассматриваемых далее примерах функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , поэтому мы будем использовать символ . Определение предела в случае   аналогично приведённому ( его можно найти в учебнике или конспекте лекций).

Определение. Функция  есть бесконечно малая при , если

Функции  и называются эквивалентными (f ~ g) при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где .

Определение. Функция  есть бесконечно малая относительно  при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где  При этом пишут Если при этом g- бесконечно малая, то говорят, что f есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g.

Справедливы следующие предложения.

(f(х) ~ g(х)) при .

(f(х) ~ g(х)) при

Последнее правило не распространяется на суммы и разности функций, кроме отдельных случаев, например

3. Если f(х) ~ах  и g(х) ~bх и  , то (f(х) - g(х)) ~(а- b)х.

При вычислении пределов функций полезно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при  :

1. sinx~x , ,

2. arcsinx~x, arcsinx =x+o(x),

3. tgx~x , tgx=x+o(x),

4. arctgx ~x, arctgx=x+o(x),

5.  ~x , ,

6.  ~xlna, ,

7.  ~x , ,

8. ~,

9. ~,

10. 1-cosx~, .

 

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Дробь, стоящую под знаком интеграла, представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами: .

2) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда значения этих многочленов равны при любом значении переменной х.

В этом примере воспользуемся первым критерием равенства многочленов. Раскрывая скобки, получим . В многочленах справа и слева приравняем коэффициенты при х и свободные члены.

Инженерная графика

 

Сопромат