Курс лекций математического анализа

Атомные станции России
Смоленская АЭС
Курская АЭС
Калининская АЭС
Кольская АЭС
Ростовская АЭС
Нововоронежская АЭС
Ленинградская АЭС
Билибинская АЭС
Белоярская АЭС
Балаковская АЭС
Безопасность АЭС
Экология
Модернизация АЭС
Перспективы
Соцкультбыт
Типы атомных станций
  • с реакторами РБМК 1000
  • с реакторами ВВЭР
  • с реакторами БН-600
  • Атомная энергетика
    Первая в мире атомная электростанция
    Юбилей Атомной энергетики
    Российские атомные ледоколы
    Ядерные реакторы
     
  • Ядерные топливные циклы
  • Безопасность АЭС
  • История атомной энергетики
  • Канальный кипящий графитовый реактор
  • Реакторы водо-водяного типа
  • Реакторы на быстрых нейтронах
  • Сравнение различных типов энергетических
    ядерных реакторов
  • Реакторы третьего поколения ВВЭР-1500
  • Безопасный быстрый реактор РБЕЦ
  • Энергетическая установка ГТ-МГР
  • ВАО АЭС
  • Импульсные реакторы 
  • Реактор БИГР (быстрый
    импульсный графитовый реактор)
  • Атомные батареи в космосе
  • Излучатели нейтронов
  • Изотопные источники электронов
  • Первый бетатрон для ускорения
    электронов
  • Альтернативная энергетика
    Курсовые проекты по ядерным реакторам
    Испытания ядерного оружия
     
  • Ядерные испытания том 1
  • Ядерные испытания том 2
  • Ядерное разоружение
  • Ядерное оружие
  • Ядерные испытания в Артике
     
  • Арктический ядерный полигон
  • Создание полигона
  • Подводные ядерные взрывы
  • Испытание оперативно-тактической
    ракеты
  • Аварии на ядерных реакторах
     
  • Чернобыльская катастрофа
  • Чернобыльская АЭС
  • Космические ядерные аварии
  • Курс Атомная энергетика
    Книга Укращение ядра
    Теплоэнергетика
    Малая теплоэнергетика
    Машиностроительное черчение
    и инженерная графика
    Приемы выполнения графических работ
    Инженерная графика
    Разъемные и неразъемные соединения
    Виды соединения деталей
    Работа в AutoCAD при выполнении чертежа
    Инженерная графика
    Аксонометрическая проекция
    Техническое черчение
    Компас-3d
    Лабораторные работы
    и задачи по электротехнике
    Трехфазные цепи
    Методы расчета электрической цепи
    Соединение нагрузки треугольником
    Преимущества трезфазных систем
    Расчет симметричных режимов работы
    трехфазных систем
    Расчет разветвленных однофазных цепей
    Расчет разветвленной магнитной цепи
    Математика
    Математика решение задач
    Линейная алгебра
    Дифференциальное исчисление
    Дифференциальные уравнения
    Теория вероятностей
    Математический анализ
    Геометрический смысл производной
    Числовые ряды
    функции комплексного переменного
    Вычислить интеграл Задачи и примеры
    Поверхностные и кратные интегралы
    Физические задачи

    Билеты к экзамену по высшей математике

    Компьютерная математика Mathematica
    Maple
    Матричная лаборатория MATLAB
    Физика
  • Электротехника
  • Кинематика, динамика, термодинамика
  • Электростатика, Магнетизм
  • Волновая и квантовая оптика
  • Физика в конспективном изложении
  • Законы геометрической оптики
  • Механизм ядерных реакций
  • Электромагнитные колебания
  • Ядерная физика
  • Строение и общие свойства атомных ядер
  • Модели атомных ядер
  • Радиоактивные превращения ядер
  • Ядерные реакции
  • Деление ядер
  • Курс Физика ядра и частиц
  • Сопротивление материалов
    Лабораторные работы по сопромату
  • Исследовать рабочую систему
    механизма редуктора
  • Лабораторные работы по сопромату
  • Содержание и задачи курса
    сопротивление материалов
  • Техническая механика
  • Балочные системы
  • Чертежи
  • Основные типы подшипников качения
  • Дизайн
     
  • Дизайн в промышленности
  • Западный и российский дизайн
  • История дизайна
  • Эргономика
  • Архитектура и проектирование
    промышленных изделий
  •  
    История искусства
    Техника иконописания
    Сюжеты древнерусской живописи
    Баухауз
    Информатика
    Информатика
    Турбо Паскаль
    Visual Studio
    Visual Foxpro
    Visual Basic
    CorelDRAW

    Новая технология .NET

     

     

    Содержание

    Функции

    Последовательность.

    Гиперболические функции

    Пределы и непрерывность функции

    Свойства функций

    БМФ и их свойства

    Два замечательных предела

    Показательно-степенная функция

    Теоремы об эквивалентных б.м.

    Примеры применения теорем

    Геометрический смысл производной

    Правила дифференцирования обратной функции

    Логарифмическое дифференцирование

    Теорема Тейлора

    Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

    Теоремы об возрастании и убывании дифференцируемых функций. Экстремумы

    Пример 22. Найти предел .

    Решение. 1-й способ. Сделаем замену переменной:   

     По

    предложению 3 выражение в числителе эквивалентно , следовательно,

    2-й способ. Сделаем замену переменной и воспользуемся формулой 9 из таблицы эквивалентных бесконечно малых.

    Пример 23. Вычислить предел функции

     

    Решение. Воспользовавшись формулами приведения и табличными эквивалентностями, получаем

     

    Пример24. Вычислить предел функции

    .

    Решение. Заметив, что все сомножители в числителе и знаменателе исходного выражения есть бесконечно малые при , заменим их, кроме , на эквивалентные:

     

    Получаем

    .

    Пример 25. Вычислить предел функции .

    Решение. 1-й способ. Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х:  . Тогда по арифметическим свойствам предела . По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом:

    2-й способ. Поскольку , то . Точно так же  и  при . Воспользовавшись этими соотношениями, получаем

    .

    Пример 26. Вычислить предел функции

      .

    Решение. Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель  и учтём, что . Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями:

      .

     .

    Пример 27. Вычислить предел функции

    Решение. 1-й способ. Преобразуем числитель исходного выражения:

    Используя последнее равенство, приём умножения на сопряжённое выражение, предел  и табличные эквивалентности, получаем:

     ++=

     +  = + 1 + 

    2-й способ. Последовательно используя табличные формулы

      при , получаем

       

    Пример 28. Вычислить предел функции

    Решение. Сделаем подстановку  и воспользуемся табличными формулами:

     

     

    Пример 29. Вычислить предел функции

    Решение. Сделаем подстановку :

      (10)

    Преобразуем выражение 

     

    Подставляем полученное выражение в (10):

    Пример 30. Вычислить предел функции 

    Решение.

    Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что  есть бесконечно большая, а   и -бесконечно малые при  

    Пример 31. Найти предел 

    Решение. Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня:  Теперь используем табличное представление , где  при , формулу приведения и то, что  (непрерывность косинуса):

    Пример 32. Вычислить предел функции

     

    Решение. Величина  является ограниченной, а x - бесконечно малой при . Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее,  поэтому . Отсюда  

    Пример 33. Вычислить предел функции

    Решение. Воспользуемся тем, что если  , то  В нашем случае  Тогда 

    Задачи, связанные с применением второго замечательного предела

    Второй замечательный предел

      (11)

    применяется ( как и в случае последовательностей) при вычислении пределов , где  т.е. в случае неопределённости вида

    Следующие три примера решим различными способами.

    Пример 34. Вычислить предел функции

     Решение. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида  Выделяем в исходном выражении формулу  и вычисляем предел.

    Предел выражения можно находить, предварительно вычислив предел его логарифма.

    Пример 35. Вычислить предел функции

    Решение. Преобразуем логарифм исходного выражения, применив формулу Отсюда  Теперь находим искомый предел:  

    Для вычисления предела , где  т.е. в случае неопределённости вида , можно использовать правило:

      . (12)

    Пример 36. Вычислить предел функции

    Решение. Находим

    Далее,  и в силу (12) получаем 

    Пример 37. Последовательность функций  определяется следующим образом:   Найти 

    Решение. Легко заметить и доказать по индукции, что Оценим разность между   и числом являющимся корнем уравнения  . Последнее неравенство следует из того, чтоиПрименяя полученное неравенство к разности  и т.д., получим   то есть. Отсюда видно, что

      Непрерывность функции

    Определение. Функция , заданная на множестве ЕR, называется непрерывной в точке аЕ, если 

      (13)

    Отсюда следует, что в изолированной точке множества Е функция непрерывна (см. пример 41); если же а - предельная для множества Е, то (13) означает, что  

    Пример 38. Доказать, что функция  непрерывна в точке а=2(найти ).

    Решение. 1-й способ. Поскольку  определена при всех значениях R, то Е= R и (13) принимает вид:

    Переходим к неравенству для значений функции:

      (14)

    Пусть выполнено неравенство  то есть  Тогда  Если теперь потребовать, чтобы выполнялось неравенство   , то неравенство (14) также будет выполнено:   Итак, для выполнения последнего неравенства потребовалось, чтобы  и . Поэтому

    2-й способ. Неравенство  для значений функции выполнено, если выполнено неравенство

     

     Последнее неравенство, (квадратное относительно ) выполнено, если  Таким образом,

     Рис.1

    3-й способ. Найдём  по  графически (см. рис. 1) и получим такой же результат, как для второго способа (в этом легко убедиться самостоятельно).

     

    Пример 39. С помощью «» рассуждений доказать непрерывность следующих функций: 1) :2).

    Решение. 1). Пусть  Тогда  если . Кроме того, должно выполняться условие ,откуда и  При а=0  если  ( в качестве окрестности нуля в множестве Е=D(f)  берётся  ).

    2). Покажем, что для любых х и а

      (15)

    Из определения арктангенса и с помощью замены переменной получаем, что это неравенство равносильно неравенству

      где  (16)

    Если х и а одного знака, то

    Мы воспользовались известным неравенством  Из него же следует справедливость (16) для х и а разного знака. Из неравенства (15)следует, что в качестве искомого  можно взять : если , то получаем, что 

    Пусть функция  определена в точках некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

    Определение. Точка а называется точкой разрыва функции , если она не определена в точке а или  определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

    Если а – точка разрыва и существуют конечные пределы  и, то а называется точкой разрыва первого рода.  Если при этом , то а называется точкой устранимого разрыва.

    Точки разрыва функции , не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. Если при этом  или , то а называется точкой бесконечного разрыва.

    Если в некоторой полуокрестности слева или справа от а  не определена, то для определения характера разрыва рассматривают только  или .

    Пример 40. Найти точки разрыва функции

    и исследовать их характер.

    Решение. В точках  функция непрерывна, поскольку является произведением или частным непрерывных функций. В точке  оба односторонних предела существуют и не равны:  . Следовательно,  - точка разрыва первого рода. В точке х=1 , следовательно,  - точка разрыва второго рода

    ( точка бесконечного разрыва).

    Пример 41. Определить точки разрыва функции и исследовать их характер.

    Решение. Находим область определения  функции:  Отсюда  или . На  функция непрерывна: на множестве  в силу арифметических свойств и непрерывности корня, а в точках  - поскольку они являются изолированными (отдельными) точками . Таким образом, точками разрыва могут быть только . Находим  . Поскольку  чётная, то и . Следовательно,  - точки устранимого разрыва.

    Пример 42. Исследовать на непрерывность функцию  и построить её график.

    Решение. Пусть х>0. При х>1  и у=0. При  у=1. При  и  Таким образом, при 

    (одновременно строим график, рис. 2 );  Следовательно, , являются для у точками разрыва первого рода. Пусть теперь х<0. При х < -1  и . При , у=1. При   и  Таким образом, при     Получаем, что и точки , являются точками разрыва первого рода. Поскольку   то х=0 является точкой устранимого разрыва. Во всех остальных точках функция непрерывна.

     Рис. 2

    Курс лекций Сопротивление материалов