Курс лекций математического анализа

 

Содержание

Функции

Последовательность.

Гиперболические функции

Пределы и непрерывность функции

Свойства функций

БМФ и их свойства

Два замечательных предела

Показательно-степенная функция

Теоремы об эквивалентных б.м.

Примеры применения теорем

Геометрический смысл производной

Правила дифференцирования обратной функции

Логарифмическое дифференцирование

Теорема Тейлора

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

Теоремы об возрастании и убывании дифференцируемых функций. Экстремумы

Пример 22. Найти предел .

Решение. 1-й способ. Сделаем замену переменной:   

 По

предложению 3 выражение в числителе эквивалентно , следовательно,

2-й способ. Сделаем замену переменной и воспользуемся формулой 9 из таблицы эквивалентных бесконечно малых.

Пример 23. Вычислить предел функции

 

Решение. Воспользовавшись формулами приведения и табличными эквивалентностями, получаем

 

Пример24. Вычислить предел функции

.

Решение. Заметив, что все сомножители в числителе и знаменателе исходного выражения есть бесконечно малые при , заменим их, кроме , на эквивалентные:

 

Получаем

.

Пример 25. Вычислить предел функции .

Решение. 1-й способ. Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х:  . Тогда по арифметическим свойствам предела . По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом:

2-й способ. Поскольку , то . Точно так же  и  при . Воспользовавшись этими соотношениями, получаем

.

Пример 26. Вычислить предел функции

  .

Решение. Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель  и учтём, что . Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями:

  .

 .

Пример 27. Вычислить предел функции

Решение. 1-й способ. Преобразуем числитель исходного выражения:

Используя последнее равенство, приём умножения на сопряжённое выражение, предел  и табличные эквивалентности, получаем:

 ++=

 +  = + 1 + 

2-й способ. Последовательно используя табличные формулы

  при , получаем

   

Пример 28. Вычислить предел функции

Решение. Сделаем подстановку  и воспользуемся табличными формулами:

 

 

Пример 29. Вычислить предел функции

Решение. Сделаем подстановку :

  (10)

Преобразуем выражение 

 

Подставляем полученное выражение в (10):

Пример 30. Вычислить предел функции 

Решение.

Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что  есть бесконечно большая, а   и -бесконечно малые при  

Пример 31. Найти предел 

Решение. Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня:  Теперь используем табличное представление , где  при , формулу приведения и то, что  (непрерывность косинуса):

Пример 32. Вычислить предел функции

 

Решение. Величина  является ограниченной, а x - бесконечно малой при . Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее,  поэтому . Отсюда  

Пример 33. Вычислить предел функции

Решение. Воспользуемся тем, что если  , то  В нашем случае  Тогда 

Задачи, связанные с применением второго замечательного предела

Второй замечательный предел

  (11)

применяется ( как и в случае последовательностей) при вычислении пределов , где  т.е. в случае неопределённости вида

Следующие три примера решим различными способами.

Пример 34. Вычислить предел функции

 Решение. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида  Выделяем в исходном выражении формулу  и вычисляем предел.

Предел выражения можно находить, предварительно вычислив предел его логарифма.

Пример 35. Вычислить предел функции

Решение. Преобразуем логарифм исходного выражения, применив формулу Отсюда  Теперь находим искомый предел:  

Для вычисления предела , где  т.е. в случае неопределённости вида , можно использовать правило:

  . (12)

Пример 36. Вычислить предел функции

Решение. Находим

Далее,  и в силу (12) получаем 

Пример 37. Последовательность функций  определяется следующим образом:   Найти 

Решение. Легко заметить и доказать по индукции, что Оценим разность между   и числом являющимся корнем уравнения  . Последнее неравенство следует из того, чтоиПрименяя полученное неравенство к разности  и т.д., получим   то есть. Отсюда видно, что

  Непрерывность функции

Определение. Функция , заданная на множестве ЕR, называется непрерывной в точке аЕ, если 

  (13)

Отсюда следует, что в изолированной точке множества Е функция непрерывна (см. пример 41); если же а - предельная для множества Е, то (13) означает, что  

Пример 38. Доказать, что функция  непрерывна в точке а=2(найти ).

Решение. 1-й способ. Поскольку  определена при всех значениях R, то Е= R и (13) принимает вид:

Переходим к неравенству для значений функции:

  (14)

Пусть выполнено неравенство  то есть  Тогда  Если теперь потребовать, чтобы выполнялось неравенство   , то неравенство (14) также будет выполнено:   Итак, для выполнения последнего неравенства потребовалось, чтобы  и . Поэтому

2-й способ. Неравенство  для значений функции выполнено, если выполнено неравенство

 

 Последнее неравенство, (квадратное относительно ) выполнено, если  Таким образом,

 Рис.1

3-й способ. Найдём  по  графически (см. рис. 1) и получим такой же результат, как для второго способа (в этом легко убедиться самостоятельно).

 

Пример 39. С помощью «» рассуждений доказать непрерывность следующих функций: 1) :2).

Решение. 1). Пусть  Тогда  если . Кроме того, должно выполняться условие ,откуда и  При а=0  если  ( в качестве окрестности нуля в множестве Е=D(f)  берётся  ).

2). Покажем, что для любых х и а

  (15)

Из определения арктангенса и с помощью замены переменной получаем, что это неравенство равносильно неравенству

  где  (16)

Если х и а одного знака, то

Мы воспользовались известным неравенством  Из него же следует справедливость (16) для х и а разного знака. Из неравенства (15)следует, что в качестве искомого  можно взять : если , то получаем, что 

Пусть функция  определена в точках некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

Определение. Точка а называется точкой разрыва функции , если она не определена в точке а или  определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Если а – точка разрыва и существуют конечные пределы  и, то а называется точкой разрыва первого рода.  Если при этом , то а называется точкой устранимого разрыва.

Точки разрыва функции , не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. Если при этом  или , то а называется точкой бесконечного разрыва.

Если в некоторой полуокрестности слева или справа от а  не определена, то для определения характера разрыва рассматривают только  или .

Пример 40. Найти точки разрыва функции

и исследовать их характер.

Решение. В точках  функция непрерывна, поскольку является произведением или частным непрерывных функций. В точке  оба односторонних предела существуют и не равны:  . Следовательно,  - точка разрыва первого рода. В точке х=1 , следовательно,  - точка разрыва второго рода

( точка бесконечного разрыва).

Пример 41. Определить точки разрыва функции и исследовать их характер.

Решение. Находим область определения  функции:  Отсюда  или . На  функция непрерывна: на множестве  в силу арифметических свойств и непрерывности корня, а в точках  - поскольку они являются изолированными (отдельными) точками . Таким образом, точками разрыва могут быть только . Находим  . Поскольку  чётная, то и . Следовательно,  - точки устранимого разрыва.

Пример 42. Исследовать на непрерывность функцию  и построить её график.

Решение. Пусть х>0. При х>1  и у=0. При  у=1. При  и  Таким образом, при 

(одновременно строим график, рис. 2 );  Следовательно, , являются для у точками разрыва первого рода. Пусть теперь х<0. При х < -1  и . При , у=1. При   и  Таким образом, при     Получаем, что и точки , являются точками разрыва первого рода. Поскольку   то х=0 является точкой устранимого разрыва. Во всех остальных точках функция непрерывна.

 Рис. 2

зарядка аккумулятора с выездом
Курс лекций Сопротивление материалов