Физические приложения интегралов

Поверхностные и кратные интегралы примеры

Тройные интегралы в цилиндрических координатах

В цилиндрических координатах положение точки M(x,y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами − ρ, φ, z , где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, φ − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z − проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах).

Рис.1

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями Здесь предполагается, что Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид: Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

Пример 8.

Найти массу поверхности с поверхностной плотностью γ = 2z2 + 3.

Решение.

На рассматриваемой поверхности

 Тогда

Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.

Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим:

8) Моменты поверхности:

  (48) статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

  

 (49)

моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

  - (50)

моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

  - (51)

момент инерции поверхности относительно начала координат.

Координаты центра масс поверхности:

 . (52)

 

Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.) Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.
Физические приложения поверхностных интегралов