Физические приложения интегралов

Поверхностные и кратные интегралы примеры

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Пример Найти интеграл .

Решение. Применим подстановку Тогда Выразим и через x: Таким образом,

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Применив тригонометрическую подстановку , получаем Теперь сделаем замену . Интеграл примет вид Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для вычисления интегралов. Определим коэффициенты. Тогда Следовательно, подынтегральное выражение записывается в виде Вычислим исходный интеграл. Возвращаясь к первоначальной переменной x с помощью соотношения находим окончательный ответ:

Способ вычисления площади, о котором идет речь, уходит корнями в глубокую древность.

Еще в III веке до н.э. Архимед вычислил площадь параболического сегмента с помощью изобретенного им <<метода исчерпывания>>, который через 2 тысячи лет был преобразован в метод интегрирования.

Архимед (ок. 287 – 212 до н.э.)

Греческий физик и математик. Ему принадлежит метод нахождения длин и

площадей, предвосхитивший интегральное исчисление. Закон Архимеда –

один из фундаментальных законов физики. “Внимательно читая сочинения

Архимеда, перестаешь удивляться всем новейшим открытиям геометрии”,-

сказал о нем Лейбниц.

 

Исаак Ньютон (1643 - 1727)

Английский физик и математик. Создал современную механику (Законы

Ньютона) и открыл Закон Всемирного Тяготения.

В его главном сочинении “Математические начала натуральной

философии” дан математический вывод основных фактов о движении

небесных тел. Один из создателей дифференциального и интегрального

исчисления.

  “Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент

она не течет ни вперед, ни назад.”

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц: Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.
Физические приложения поверхностных интегралов