Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Интегрирование рациональных функций

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями: Следовательно, Тогда Теперь легко вычислить исходный интеграл

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Сначала выделим правильную рациональную дробь, разделив числитель на знаменатель. Получаем

Криволинейные координаты

Взаимно однозначное отображение

, (3.1)

открытого множества  на множество  ставит в соответствие каждой точке  пару чисел . Поэтому данное отображение можно рассматривать как переход к новым координатам  и  точки  одной и той же плоскости . В этом случае множество  представляет собой множество пар новых координат точек множества .

Обратный переход от координат  и  к координатам  и  осуществляется с помощью отображения (рисунок 3. 1)

, (3.2)

обратного отображению (3.1).

Рисунок 3. 1 – Отображение области  в область  

при замене переменных ,

Множество точек плоскости , для которых одна из координат   или  постоянна, называется координатной линией.

При  имеем координатную линию

, ;

при  имеем координатную линию

, .

В двух случаях получаются уравнения, являющиеся параметрическими уравнениями некоторых кривых. Координаты  и  называются криволинейными координатами.

 

Физические приложения двойных интегралов

Во втором задании требуется привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, выполнив последовательно поворот, а затем параллельный перенос координатных осей.

 Задача 2. Дано уравнение кривой второго порядка . Выполнив поворот и параллельный перенос координатных осей, получить каноническое уравнение кривой и построить ее в исходной системе координат.

 Решение. Выполняем поворот осей по формулам ; . Подставим эти выражения для  и  в исходное уравнение и выделим коэффициент при :