Поверхностные и кратные интегралы примеры

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Пример Найти интеграл .

Решение. Используем здесь (для разнообразия) гиперболическую подстановку: . Так как , то интеграл записывается в виде Понизим степень подынтегральной функции с помощью формулы двойного угла . Тогда

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Сначала выделим полный квадрат в выражении под корнем. Теперь, используя подстановку и соотношение , находим интеграл Интеграл вычислен . Окончательный ответ равен

Прежде всего напомним два принципа, из которых мы исходим при определении объёма тела:

если разбить тело на части, то его объём будет равен сумме объёмов всех частей;

 объём прямого цилиндра, т.е. цилиндрического тела, ограниченного плоскостью, параллельной плоскости Oxy, равен площади основания, умноженной на высоту тела.

Пусть есть уравнение поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело. Будем считать функцию непрерывной в области D и сначала предположим, что поверхность целиком лежит над плоскостью Oxy, т.е. что всюду в области D.

 

 Рис. 2

Обозначим искомый объем цилиндрического тела через V, Разобьем основание цилиндрического тела - область D - на неко­торое число n областей произвольной формы; будем называть их частич­ными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, обозначим их через  а их площади - через . Через границу каждой частичной области проведем цилинд­рическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Эти цилиндри­ческие поверхности разрежут поверх­ность на n кусков, соответствующих n частичным областям. Таким образом, цилиндрическое тело окажется разби­тым на n частичных цилиндрических тел (см.рис.2). Выберем в каждой частичной области  произвольную точку  и заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилинд­ром с тем же основанием и высотой, равной . В ре­зультате получим n-ступенчатое тело, объем которого равен