Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц: Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.Тригонометрические и гиперболические подстановки
Пример Найти интеграл
Решение. Используем здесь (для разнообразия) гиперболическую подстановку:.
. Так как
, то интеграл записывается в виде
Понизим степень подынтегральной функции с помощью формулы двойного угла
. Тогда
![]()
Пример Вычислить интеграл
Решение. Сначала выделим полный квадрат в выражении под корнем..
Теперь, используя подстановку
и соотношение
, находим интеграл
Интеграл
вычислен . Окончательный ответ равен
![]()
Прежде всего напомним два принципа, из которых мы исходим при определении объёма тела:
если разбить тело на части, то его объём будет равен сумме объёмов всех частей;
объём прямого цилиндра, т.е. цилиндрического тела, ограниченного плоскостью, параллельной плоскости Oxy, равен площади основания, умноженной на высоту тела.
Пусть
есть уравнение поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело. Будем считать функцию
непрерывной в области D и сначала предположим, что поверхность целиком лежит над плоскостью Oxy, т.е. что
всюду в области D.
Рис. 2
Обозначим искомый объем цилиндрического тела через V, Разобьем основание цилиндрического тела - область D - на некоторое число n областей произвольной формы; будем называть их частичными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, обозначим их через
а их площади - через
. Через границу каждой частичной области проведем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Эти цилиндрические поверхности разрежут поверхность на n кусков, соответствующих n частичным областям. Таким образом, цилиндрическое тело окажется разбитым на n частичных цилиндрических тел (см.рис.2). Выберем в каждой частичной области
произвольную точку
и заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой, равной
. В результате получим n-ступенчатое тело, объем которого равен
Физические приложения поверхностных интегралов |