Физические приложения интегралов

Поверхностные и кратные интегралы примеры

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Используем тригонометрическую подстановку x = a sec t, dx = a tg t sec tdt. Вычислим интеграл, применив соотношение . Поскольку то получаем интеграл, выраженный через исходную переменную x:

Пример Найти интеграл .

Решение. Предварительно преобразуем интеграл. Сделаем подстановку Теперь вычисляем интеграл:

 Пример:

Интегрирование рациональных функций. 

 Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

 Теорема: Если  - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)a…(x - b)b(x2 + px + q)l…(x2 + rx + s)m ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.

 При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

 Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

т) .

Найдем интеграл, используя формулу тригонометрических преобразований

Интегрируя почленно полученное равенство и применяя формулу (6), получим:

у) 

 

{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (6)}

 ;

ф)

{для нахождения интеграла применим формулу (7)}

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц: Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.
Физические приложения поверхностных интегралов