Физические приложения интегралов

Поверхностные и кратные интегралы примеры

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем подстановку Получаем

Здесь для упрощения интеграла мы использовали формулу .

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Применим гиперболическую подстановку x = a sh t, dx = a ch tdt. Поскольку , интеграл равен

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

  Пример.

Замена   Получаем:

 Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

Статические моменты и центр тяжести пластинки.

Перейдём теперь к вычислению статических моментов рассматриваемой пластинки относительно осей координат. Для этого сосредоточим в точках массы соответствующих частич­ных областей и найдем статические моменты полученной сис­темы материальных точек :

Переходя к пределу при обычных условиях и заменяя интегральные суммы интегралами, получим

Находим координаты центра тяжести :

Если пластинка однородна, т.е.  то формулы упрощаются :

  где S - площадь пластинки.

Нули аналитической функции. Единственность определения аналитической функции.

Если f(z)=(z-z◦)kφ(z) и φ(z◦)#0, то z◦ - называется нулём функции f(z) k порядка. Если f(z) – аналитическая, то f(z)=C◦+C1(z- z◦)+…+Ck-1(z- z◦)k-1+Ck(z- z◦)k+…

Теорема (о нулях):

Если функция f(z) – аналитическая в G и имеет нули в точках z1, z2…zn… и f(zk)=0, zi#zj и существует предельная точка: lim zk=aЄG при k→к бесконечности (область G – связная), тогда f(z)=0 в G.

Доказательство:

lim f(zk)=f(a)=0→f(z)=(z-a)f1(z)

f1(z)=0 во всех точках кроме, может быть, одной – a, тогда f1(zk)=0, и следовательно lim f1(zk)=0. Таким образом, С◦=0

f(z)=(z-a)2f2(z)→C1=0

Для f2(z) аналогично, как и для f1(z)

Все коэффициенты обратятся в нуль.

Теорема (о единственности):

Пусть f(z) и g(z) – две аналитические в линейно связной и ограниченной области G функции. Если существует последовательность различных точек {zn}ЄG и таких, что lim zn=aЄG при  и f(zk)=g(zk) в области G. Тогда f(z) тождественно равна g(z).

Доказательство:

φ(z)=f(z)-g(z) имеет в G последовательность {zn}=0 и aЄG, тогда φ(z)=0 по теореме о нулях→f(z)=g(z).

Следствия:

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц: Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.
Физические приложения поверхностных интегралов