Физические приложения интегралов

Поверхностные и кратные интегралы примеры

Теорема Стокса

Пример Найти интеграл с использованием теоремы Стокса. Кривая C образована пересечением параболоида с плоскостью . (рисунок 4).

Решение. Пусть S будет часть плоскости, вырезанная параболоидом. Ориентация поверхности S и направление обхода контура C показаны на рисунке 4. Из уравнения плоскости найдем вектор нормали : Так как то ротор векторного поля равен По теореме Стокса находим Поскольку , то интеграл становится равным Чтобы завершить расчеты, нужно определить двойной интеграл , то есть найти площадь поверхности S. Явное уравнение плоскости имеет вид . Поэтому, по формуле где D(x,y) − это проекция S на плоскость xy, получаем Определим область интегрирования D(x,y). Решая систему уравнений находим Как видно, область D(x,y) − это круг радиуса с центром в точке . Тогда площадь области D(x,y) равна Отсюда находим окончательное значение интеграла:

Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Свойства сохранения углов и постоянства растяжения.

Пусть задана аналитическая функция W=f(z). Имеются две системы координат:

В области G проводим гладкую кривую γ1 и соответственно ей Г1 – в области f(G). Запишем производную: , где .

Если  то получаем .

Берём аналогично γ2 и Г2:

 и .

Получаем . Т.е. при отображении аналитических функций с отличными от нуля производными углы между прямыми и их отображения равны по величине и направлению. Отображение длин  также сохраняется (растяжение / сжатие).

Т.е. получили, что отображение обладает свойствами.

1) сохранение углов

2) постоянство растяжения ( - коэффициент растяжения / сжатия).

 

Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.
Физические приложения поверхностных интегралов