Физические приложения интегралов

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Теорема Стокса

Пример Вычислить криволинейный интеграл , используя теорему Стокса. Кривая C имеет форму эллипса и определяется уравнениями (рисунок 2 выше).

Решение. Пусть поверхность S − это часть плоскости z = 1, ограниченная эллипсом. Очевидно, единичный вектор нормали к данной поверхности будет . Поскольку то ротор поля равен В соответствии с теоремой Стокса получаем Двойной интеграл в последней формуле равен площади эллипса. Поэтому интеграл равен

Пример Используя теорему Стокса, вычислить криволинейный интеграл . Кривая C представляет собой треугольник с вершинами A(2,0,0), B(0,2,0), D(0,0,2) (рисунок 3).

Решение. Пусть S будет плоскость треугольника ABD. Ориентация поверхности S и направление обхода контура C показаны ниже на рисунке 3. Определим сначала нормальный вектор : Тогда и, следовательно, В нашем случае , и ротор равен Применяя формулу Стокса, находим Здесь двойной интеграл равен площади треугольника ABD, которая составляет Таким образом, интеграл имеет значение
Рис.3
Рис.4

Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго по­рядка  с помощью теории квадратичных форм. Сделать рисунок.

  Решение. Напишем уравнение этой поверхности в общем виде, выписывая и коэффициенты, равные нулю:

Теперь нетрудно записать и матрицу этой квадратичной формы:

Характеристическое уравнение имеет вид


Физические приложения поверхностных интегралов