Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Перепишем интеграл в виде Как видно, наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 12. Поэтому используем подстановку Интеграл принимает вид Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, чтобы избавиться от неправильной рациональной дроби. После несложных преобразований получим окончательный ответ.

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем подстановку: Получаем

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Используем подстановку Тогда интеграл равен

3.2 Замена переменных в двойном интеграле

Замена переменных в двойном интеграле состоит в переходе от переменных  и  к новым переменным по формулам (3.2). Функции (3.2) осуществляют отображение области  на область . Область  называется образом области, а область  – прообразом области  при отображении (3.2).

Теорема 1 Пусть

1) отображение ,  переводит замкнутую ограниченную область  в замкнутую ограниченную область   и является взаимно однозначным;

2) функции  и  имеют в области  непрерывные частные производные первого порядка;

3) якобиан отображения  во всех области ;

4) функция  непрерывна в области .

Тогда справедлива формула замены переменных в двойном интеграле

. (3.3)

Если условие 1) или условие 3) нарушается в отдельных точках или на отдельных кривых, то формула (3.2) остается в силе.

3.3 Полярные координаты

Если область  ограничена дугами окружности, то удобно переходить к полярным координатам

, , (3.4)

где , .

Якобиан перехода к полярным координатам равен:

.

Поэтому формула замены переменных запишется в виде:

. (3.5)

Если область  ограничена дугами эллипса , то удобно переходить к обобщенным полярным координатам

, ,

где , . При этом якобиан отображения равен

.

Физические приложения двойных интегралов

Во втором задании требуется привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, выполнив последовательно поворот, а затем параллельный перенос координатных осей.

 Задача 2. Дано уравнение кривой второго порядка . Выполнив поворот и параллельный перенос координатных осей, получить каноническое уравнение кривой и построить ее в исходной системе координат.

 Решение. Выполняем поворот осей по формулам ; . Подставим эти выражения для  и  в исходное уравнение и выделим коэффициент при :