Физические приложения интегралов

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Теорема Стокса

Пример Показать, что криволинейный интеграл равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.

Решение. Обозначим через S поверхность, ограниченную замкнутой кривой C. Применяя формулу Стокса, можно записать Тогда Следовательно, находим значение криволинейного интеграла: Утверждение доказано.

Пример Используя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл , где кривая C образована пересечением сферы плоскостью .

Решение. Обозначим через S круг, вырезаемый из заданной плоскости при пересечении со сферой. Определим координаты единичного вектора нормали к поверхности S: В нашем случае Следовательно, ротор вектора равен По теореме Стокса получаем Поскольку центр сферы находится в начале координат, а плоскость также проходит через начало координат, то сечением будет являться круг радиусом 1. Тогда интеграл имеет значение

3. Геометрические и физические приложения

Длина кривой.

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

   (39)

2) Масса кривой.

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

  (40)

Пример 6.

Найти массу кривой с линейной плотностью  заданной в полярных координатах уравнением ρ = 4φ, где

Решение.

Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах:

3) Моменты кривой l: 

  - (41)

статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

 - (42)

момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

  - (43)

моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

  . (44) 

 

5) Работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):

  , (45)

Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго по­рядка  с помощью теории квадратичных форм. Сделать рисунок.

  Решение. Напишем уравнение этой поверхности в общем виде, выписывая и коэффициенты, равные нулю:

Теперь нетрудно записать и матрицу этой квадратичной формы:

Характеристическое уравнение имеет вид


Физические приложения поверхностных интегралов