Физические приложения интегралов

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения тройных интегралов

Пример Пусть планета имеет радиус R, а ее плотность выражается зависимостью

Вычислить массу планеты. Решение. Расссмотрим подробнее закон изменения плотности. Если r = R, то где γ0 − некоторая поверхностная плотность планеты. Если r → 0, то γ → ∞ (рисунок 6).

Рис.6
Массу планеты вычислим с помощью тройного интеграла по формуле: Переходя к сферическим координатам, получаем Поскольку объем планеты равен 4/3πR3, то ответ можно записать и в такой форме:

Как видно, масса планеты на 25% больше по сравнению со случаем, когда плотность распределена однородно.

Вопросы для самоконтроля

1 Какая область называется односвязной?

2 Какие условия должны выполняться для того, чтобы была справедлива формула Грина?

3 Перечислите эквивалентные условия, если функции  и  определены и непрерывны вместе со своими частными производными  и  в замкнутой односвязной области.

Решение типовых примеров

1 Вычислить интеграл , где

.

Решение. Вычислим интеграл с помощью формулы Грина.

Имеем 

, ,

, .

Тогда

 

Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго по­рядка  с помощью теории квадратичных форм. Сделать рисунок.

  Решение. Напишем уравнение этой поверхности в общем виде, выписывая и коэффициенты, равные нулю:

Теперь нетрудно записать и матрицу этой квадратичной формы:

Характеристическое уравнение имеет вид


Физические приложения поверхностных интегралов