Физические приложения интегралов

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения тройных интегралов

Пример С какой силой притягивает однородный шар массы M материальную точку массы m, расположенную на расстоянии a от центра шара (a > R)?

Решение. Без снижения общности материальную точку можно поместить на оси Oz (рисунок 4), так что ее координата составляет (0, 0, a).
Рис.4
Рис.5

 

При этом для нахождения потенциала шара вместо вычисления тройного интеграла технически удобно сначала определить потенциал сферы (через поверхностный интеграл), а затем уже получить результат для шара (выполнив еще одно интегрирование). Итак, вычислим потенциал сферы произвольного радиуса r (r ≤ R). Выделим на сфере малый участок площадью dS, как показано на рисунке 5. Масса этого участка равна где ρ(r) − плотность сферы, а dr − ее толщина. Указанная сфера создает в точке P потенциал, равный где расстояние δ от участка dS до точки P выражено по теореме косинусов через величины a, r, θ. Учитывая, что элемент площади равен , получаем Вычислим отдельно интеграл по переменной θ. Сделаем следующую замену: пусть Тогда В результате находим интеграл Таким образом, потенциал сферы радиуса r равен Теперь можно вычислить потенциал шара радиуса R. Пусть для простоты плотность шара постоянна и равна ρ0. Получаем В полученном выражении 4/3πR3 = V − это объем шара, а ρ0V = M − масса шара. В итоге мы доказали, что потенциал гравитационного поля, создаваемого шаром на расстоянии a от центра шара (a > R), выражается формулой Далее легко найти силу притяжения шара и материальной точки. Поскольку то сила равна Знак "минус" означает, что сила направлена в сторону, противоположную оси Oz, т.е. является силой притяжения. Как видно, сила притяжения шара и точки имеет такой же вид, как и сила притяжения двух точечных масс! Это один из фундаментальных результатов в астрофизике и небесной механике. Благодаря этому, планеты и звезды часто можно рассматривать как материальные точки при описании их движения. Чтобы получить этот результат, Исаак Ньютон был вынужден даже отложить публикацию своих знаменитых "Начал Философии". Возможно трудности были связаны с тем, что он не использовал сферические координаты при решении этой задачи...

Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго по­рядка  с помощью теории квадратичных форм. Сделать рисунок.

  Решение. Напишем уравнение этой поверхности в общем виде, выписывая и коэффициенты, равные нулю:

Теперь нетрудно записать и матрицу этой квадратичной формы:

Характеристическое уравнение имеет вид


Физические приложения поверхностных интегралов