Физические приложения интегралов

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения тройных интегралов

Пример Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Решение. По условию, плотность γ задана соотношением γ = ar2, где a − некоторая постоянная, r − расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах:

Пример Найти момент инерции прямого круглого однородного конуса относительно его оси. Конус имеет радиус основания R, высоту H и общую массу m (рисунок 3).

Рис.3

Решение. Момент инерции тела относительно оси Oz выражается формулой Поскольку конус является однородным, то плотность γ(x,y,z) = γ0 можно вынести за знак интеграла: Перейдем к цилиндрическим координатам с помощью замены Новые переменные изменяются в пределах Тогда момент инерции равен Выразим плотность γ0 через известную массу конуса m. Так как то, следовательно Окончательно получаем Интересно, что момент инерции конуса не зависит от его высоты.

б) В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой.

Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением   длина дуги находится по формуле  (17);

Для кривой, заданной параметрически уравнениями    длина дуги находится по формуле  (18);

Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением   длина дуги находится по формуле  (19).

В нашем случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (18).

;

 


в) Пусть функция  непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси  криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой:  (20).

Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции  и прямыми , ,  , то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , по аналогии с формулой (20), равен:  (21).

В условиях нашей задачи , , .

.

Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго по­рядка  с помощью теории квадратичных форм. Сделать рисунок.

  Решение. Напишем уравнение этой поверхности в общем виде, выписывая и коэффициенты, равные нулю:

Теперь нетрудно записать и матрицу этой квадратичной формы:

Характеристическое уравнение имеет вид


Физические приложения поверхностных интегралов