Физические приложения интегралов

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения тройных интегралов

Пример Определить массу и координаты центра тяжести единичного куба с плотностью ρ(x,y,z) = x + 2y + 3z (рисунок 2).

Решение. Сначала вычислим массу куба: Теперь вычислим статические моменты Mxy, Mxz, Myz. Аналогично находим моменты Mxz и Myz:

 

Вычисляем координаты центра тяжести куба:

 Пример.

  Пример.

 

  Пример.

Область D заключим внутрь прямоугольника

 

стороны которого касаются границы области в точках А, В, С, Е. Интервал [а, b] является ортогональной проекцией области D на ось Ох, а интервал [c, d] - ортогональной проекцией облас­ти D на ось Oy. На рис.5 область D показана в плоско­сти Оху.

Точками A и C граница разбивается на две линии: ABC и AEC, каждая из которых пересекается с любой прямой, параллельной оси Oy, в одной точке. Поэтому, их уравнения можно записать в форме, разрешенной относительно y:

  (ABC),

 (AEC).

Аналогично точками В и Е граница разбивается на линии ВАЕ и ВСЕ, уравнения которых можно записать так:

 (BAE),

  (BCE).

 

 Рис.5

Существование производных всех порядков аналитической функции.

1) f(x)- непрерывная в замкнутой области G, и аналитическая.

2) f(x) непрерывна в

Тогда

Причем

-непрерывна по совокупности аргументов.

Также можно написать, что .

Доказательство: По формуле Коши Можно записать:

Докажем, что имеет место равенство

==

- по аналогии с предыдущим.

Из существования первой производной в некоторой окрестности точки, следует существование n-й производной!!!!

Следствие:

Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго по­рядка  с помощью теории квадратичных форм. Сделать рисунок.

  Решение. Напишем уравнение этой поверхности в общем виде, выписывая и коэффициенты, равные нулю:

Теперь нетрудно записать и матрицу этой квадратичной формы:

Характеристическое уравнение имеет вид


Физические приложения поверхностных интегралов