Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Запишем интеграл в виде Поскольку наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 3, то сделаем замену: Получаем новый интеграл Сделаем еще одну замену: Находим окончательный ответ:

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Запишем интеграл в более удобном виде: Сделаем подстановку: Интеграл через новую переменную u имеет вид Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, разделим числитель на знаменатель.

2 Вычислить интеграл , где

.

Решение. Область  представляет собой часть круга радиуса 1, расположенного в первой четверти (рисунок 3. 3, а) Преобразуем двойной интеграл к полярным координатам по формулам (3.4). При этом область  преобразуется в прямоугольник (рисунок 3. 3, б):

.

Рисунок 3. 3 – Области  (а) и (б) для типового примера 2

По формуле (3.5) имеем:

.

Предельные свойства изолированных особых точек. Связь полюсов и нулей.

Теор: Если z0 – устранимая особая точка то $lim f(z)=c0 при zàz0 и наобарот

Док-во

Пусть f(z) – ограничена

 =(*)

сделаем замену t-z0=reij |f(z)|≤M

Если n- отрицательное то r переходит в числитель, то все отрицательные коэффициенты |Cn|=0 при n=-1, -2, …

Второй случай:

 

|C-n|≠0 в этом случае точка – полюс n-го порядка.

Теор(О связи нулей и полюсов)

Для того, чтобы функция f(z) имела в точке z=z0 полюс n-го порядка необходимо и достаточно чтобы функция 1/ f(z) имела в точке z0 ноль n-го порядка.

Док-во: Необход: Предположим что в точке z0 полюс n-го порядка тогда

j(z0) ≠0 тогда  где y(z)=1/j(z)

так как j(z0) ≠0 ày(z0) ≠0 и y(z) – аналитическая в окрестности точки (z0)

Достат: Если 1/f(z) имеет ноль n-го порядка то она представима в виде . Где j(z) ≠0 и аналитична, тогда z0 полюс n-го порядка.

 

Физические приложения двойных интегралов

Во втором задании требуется привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, выполнив последовательно поворот, а затем параллельный перенос координатных осей.

 Задача 2. Дано уравнение кривой второго порядка . Выполнив поворот и параллельный перенос координатных осей, получить каноническое уравнение кривой и построить ее в исходной системе координат.

 Решение. Выполняем поворот осей по формулам ; . Подставим эти выражения для  и  в исходное уравнение и выделим коэффициент при :