Физические приложения поверхностных интегралов
Пример Вычислить момент инерции однородной сферической оболочки x2 + y2 + z2 = 1 (z ≥ 0) с плотностью μ0 относительно оси Oz.
Решение. Момент инерции Iz находится по формуле:где поверхность S − это полусфера x2 + y2 + z2 = 1 (z ≥ 0). Поскольку поверхность верхней полусферы описывается функцией
, то элемент площади равен
Тогда поверхностный интеграл выражается через двойной интеграл в виде
где область интегрирования D(x,y) представляет собой круг
. Переходя к полярным координатам, получаем FIX
Для вычисления последнего интеграла сделаем замену:
. Если r = 0, то t = 1. Если r = 1, то, наоборот, t = 0.
![]()
Пример . Найти площадь той части поверхности цилиндра
которая вырезается цилиндром
![]()
Рис.22 Рис.23
Решение. На рис.23 изображена
часть искомой поверхности. Уравнение поверхности имеет вид
; поэтому
Область интегрирования представляет собой четверть круга, т.е. определяется условиями
Следовательно,
Задание 3: Вычислить:
площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
длину дуги кривой:
объем тела, полученного вращением вокруг оси
области, ограниченной графиками функций:
.
Контрольная работа №7.
Вариант 16.
Задание 1: Вычислить интегралы
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
Задание 3: Вычислить:
площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
.
длину дуги кривой:
.
объем тела, полученного вращением вокруг оси
области, ограниченной графиками функций:
.
Физические приложения поверхностных интегралов |
Рассмотрим теперь задачи шестого типа, где предлагается привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм.
Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка
,
которое только при специально выбранной системе координат будет являться каноническим (простейшим) уравнением поверхности рассмотренного выше вида.
Выпишем отдельно слагаемые второго
порядка относительно координат .
Они образуют так называемую квадратичную форму Ф
, которую можно записать так: