Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Вычислить момент инерции однородной сферической оболочки x² + y² + z² = 1 (z ≥ 0) с плотностью μ₀ относительно оси Oz.

Решение. Момент инерции I_z находится по формуле: где поверхность S − это полусфера x² + y² + z² = 1 (z ≥ 0). Поскольку поверхность верхней полусферы описывается функцией , то элемент площади равен Тогда поверхностный интеграл выражается через двойной интеграл в виде где область интегрирования D(x,y) представляет собой круг . Переходя к полярным координатам, получаем FIX Для вычисления последнего интеграла сделаем замену: . Если r = 0, то t = 1. Если r = 1, то, наоборот, t = 0.

Пример . Найти площадь той части поверхности цилиндра  которая вырезается цилиндром

 

 Рис.22 Рис.23

Решение. На рис.23 изображена  часть искомой поверхности. Уравнение поверхности имеет вид ; поэтому

Область интегрирования представляет собой четверть круга, т.е. определяется условиями

Следовательно, 

Задание 3: Вычислить:

площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

длину дуги кривой:

объем тела, полученного вращением вокруг оси  области, ограниченной графиками функций:

.

Контрольная работа №7.

Вариант 16.

Задание 1: Вычислить интегралы

Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

Задание 3: Вычислить:

площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

.

длину дуги кривой:

.

объем тела, полученного вращением вокруг оси  области, ограниченной графиками функций:

.

 

Рассмотрим теперь задачи шестого типа, где предлагается привести к кано­ническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм.

  Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка

 ,

которое только при специально выбранной системе координат будет являться каноническим (простейшим) уравнением поверхности рассмотренного выше вида.

 Выпишем отдельно слагаемые второго порядка относительно координат . Они образуют так называемую квадратичную форму Ф, которую можно записать так: