Физические приложения интегралов

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Найти центр масс части сферической оболочки , расположенной в первом октанте и имеющей постоянную плотность μ0.

Решение. Очевидно, масса данной части сферы (рисунок 3) равна Эта и подобные задачи решаются при помощи интегрирования – операции, обратной дифференцированию
Рис.3
Рис.4
Вычислим момент первого порядка Myz. где проекция D(x,y) поверхности на плоскость xy представляет собой часть круга, лежащую в первом квадранте (рисунок 4). Поскольку то Отсюда находим выражение для момента первого порядка Myz: Далее удобнее преобразовать интеграл в полярные координаты: Вычислим первый интеграл в квадратных скобках. Сделаем замену: . При r = 0 имеем t = 0, а при r = a, соответственно, . Тогда интеграл будет равен Второй интеграл имеет значение Таким образом, момент первого порядка Myz равен Отсюда находим координату xc центра масс: В силу симметрии, другие координаты имеют то же самое значение. Итак, координаты центра масс оболочки имеют вид
Физические приложения поверхностных интегралов

Рассмотрим теперь задачи шестого типа, где предлагается привести к кано­ническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм.

  Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка

 

 ,

которое только при специально выбранной системе координат будет являться каноническим (простейшим) уравнением поверхности рассмотренного выше вида.

 Выпишем отдельно слагаемые второго порядка относительно координат . Они образуют так называемую квадратичную форму Ф, которую можно записать так: