Физические приложения интегралов

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где (рисунок 2 выше). Плотность оболочки определяется функцией .

Решение. Массу оболочки определим по формуле Вычислим элемент площади dS: Найдем частные производные и их векторное произведение: Отсюда следует, что . Следовательно, масса оболочки равна

4 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, предварительно изобразив на рисунке область интегрирования:

а) ; в) ;

б) ; г) .


Практическое занятие 3 Замена переменных в двойном интеграле

3.1 Криволинейные координаты

3.2 Замена переменных в двойном интеграле

3.3 Полярные координаты

3.4 Геометрические и физические приложения двойных интегралов

Пример 2.

Найти момент инерции однородной круглой пластинки

(x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.

Решение.

В силу однородности пластинки положим ее плотность γ(х,у) = 1.

Центр круга расположен в точке C(a, b), а его радиус равен 2b.

Уравнения границ пластинки имеют вид

Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно.

Для вычисления интеграла I1 сделаем замену:

 при x = a – 2b  при x = a + 2b

Для вычисления интеграла I2 преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов:

Тогда

Следовательно,

Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:

 (15)

5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):

 (16)

Физические приложения поверхностных интегралов

Рассмотрим теперь задачи шестого типа, где предлагается привести к кано­ническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм.

  Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка

 

 ,

которое только при специально выбранной системе координат будет являться каноническим (простейшим) уравнением поверхности рассмотренного выше вида.

 Выпишем отдельно слагаемые второго порядка относительно координат . Они образуют так называемую квадратичную форму Ф, которую можно записать так: