Физические приложения интегралов

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения криволинейных интегралов

Пример Тело массой m брошено под углом к горизонту α с начальной скоростью v0 (рисунок 6). Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

Решение. Запишем закон движения тела в параметрической форме. При соударении с землей y = 0, так что время полета тела равно Силу притяжения запишем в виде . Тогда работа за время перемещения тела равна Полученный результат объясняется тем, что гравитационное поле Земли является потенциальным, поскольку выполняется равенство Найдем потенциал этого поля. В общем виде он записывается как Полагая , находим Таким образом, потенциал гравитационного поля равен где C − константа, которую можно положить равной 0. В результате получаем потенциал в виде Отсюда видно, что при перемещении тела из начальной точки O(0,0) до конечной точки A(L,0) работа равна
Рис.6
Рис.7

 Пример.

.

 Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на  и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

=

=

Итого =

=

 Пример.

 Пример.

Второй способ решения того же самого примера.

С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением , а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.

 Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

Физические приложения поверхностных интегралов

Рассмотрим теперь задачи шестого типа, где предлагается привести к кано­ническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм.

  Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка

 

 ,

которое только при специально выбранной системе координат будет являться каноническим (простейшим) уравнением поверхности рассмотренного выше вида.

 Выпишем отдельно слагаемые второго порядка относительно координат . Они образуют так называемую квадратичную форму Ф, которую можно записать так: