Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения криволинейных интегралов

Пример Вычислить момент инерции Ix проволоки в форме окружности x2 + y2 = a2 с плотностью ρ = 1.

Решение. Уравнения окружности в параметрической форме имеют вид Момент инерции Ix относительно оси Ox вычисляется по формуле Проводя вычисления, получаем

Пример Найти работу, совершаемую полем при перемещении тела от начала координат O(0,0) до точки A(1,1) по траектории C, где 1) С − отрезок прямой y = x; 2) С − кривая .

Решение. 1) Вычислим работу при перемещении вдоль прямой y = x. 2) Определим теперь работу при перещении вдоль кривой .

 Пример 24.2. Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами . Направление обхода контура положительное.

 Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L1 = x2 и

Криволинейные и поверхностные интегралы

Криволинейные интегралы

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: .

Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi:

 (24)

Если кривую L можно задать параметрически:

 x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T, 

то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой

   (25)

 В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:

у=φ(х), где х1 ≤ х ≤ х2, формула (40) преобразуется к виду:

 . (26)

Теперь умножим значение функции в точке Mi не на длину i-го отрезка, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi – xi-1 = Δxi.

Если существует конечный предел при  интегральной суммы , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

 . (27)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

 

Если вдоль кривой L определены функции

P(M)=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z),

которые можно считать компонентами некоторого вектора , и существуют интегралы

 ,

тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

 . Если кривая L задана параметрическими уравнениями

  x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, то

. (28)

Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода задается формулой Грина:

 (29)

где L – замкнутый контур, а D – область, ограниченная этим контуром.

Необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

 

от пути интегрирования являются:

 . (30)

 При выполнении условий (30) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

 

При этом функцию и можно найти по формуле

   (31)

где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная.

Физические приложения двойных интегралов

 Чтобы найти решения однородной системы, запишем сначала эквивалент­ную ей систему с матрицей :

 За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом верхнем углу мат­рицы , то есть минор, составленный из коэффициентов при неизвестных .Тогда, придавая оставшимся переменным  любые значе­ния, неизвестные  можно получить единственным образом. Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных пе­ременных, такие, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.

получим  и вектор решений . Затем, аналогично, взяв , получим .

 Общее решение однородной системы имеет вид , где  и - произвольные числа.