Физические приложения криволинейных интегралов
Пример Вычислить момент инерции Ix проволоки в форме окружности x2 + y2 = a2 с плотностью ρ = 1.
Решение. Уравнения окружности в параметрической форме имеют видМомент инерции Ix относительно оси Ox вычисляется по формуле
Проводя вычисления, получаем
![]()
Пример Найти работу, совершаемую полем
при перемещении тела от начала координат O(0,0) до точки A(1,1) по траектории C, где 1) С − отрезок прямой y = x; 2) С − кривая
.
Решение. 1) Вычислим работу при перемещении вдоль прямой y = x.
2) Определим теперь работу при перещении вдоль кривой
.
![]()
Пример 24.2. Вычислить криволинейный интеграл
. L – контур, ограниченный параболами
. Направление обхода контура положительное.
Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L1 = x2 и
Криволинейные и поверхностные интегралы
Криволинейные интегралы
Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Назовем d длину наибольшего отрезка кривой:
.
Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы
, не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi:
(24)
Если кривую L можно задать параметрически:
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T,
то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой
(25)
В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:
у=φ(х), где х1 ≤ х ≤ х2, формула (40) преобразуется к виду:
. (26)
Теперь умножим значение функции в точке Mi не на длину i-го отрезка, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi – xi-1 = Δxi.
Если существует конечный предел при
интегральной суммы
, не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается
. (27)
Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида
Если вдоль кривой L определены функции
P(M)=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z),
которые можно считать компонентами некоторого вектора
, и существуют интегралы
,
тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают
. Если кривая L задана параметрическими уравнениями
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,
где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, то
. (28)
Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода задается формулой Грина:
(29)
где L – замкнутый контур, а D – область, ограниченная этим контуром.
Необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла
от пути интегрирования являются:
. (30)
При выполнении условий (30) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как
При этом функцию и можно найти по формуле
(31)
где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная.
Физические приложения двойных интегралов |
Чтобы найти решения однородной системы, запишем сначала эквивалентную ей
систему с матрицей :
За базисный минор возьмем минор, стоящий в
левом верхнем углу матрицы , то есть минор, составленный из коэффициентов при неизвестных
.Тогда, придавая оставшимся переменным
любые значения, неизвестные
можно получить единственным образом. Чтобы
найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных переменных,
такие, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.
получим
и вектор решений
. Затем, аналогично, взяв
, получим
.
Общее решение однородной системы имеет вид
, где
и
- произвольные числа.