Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения криволинейных интегралов

Пример Вычислить момент инерции I_x проволоки в форме окружности x² + y² = a² с плотностью ρ = 1.

Решение. Уравнения окружности в параметрической форме имеют вид Момент инерции I_x относительно оси Ox вычисляется по формуле Проводя вычисления, получаем

Пример Найти работу, совершаемую полем при перемещении тела от начала координат O(0,0) до точки A(1,1) по траектории C, где 1) С − отрезок прямой y = x; 2) С − кривая .

Решение. 1) Вычислим работу при перемещении вдоль прямой y = x. 2) Определим теперь работу при перещении вдоль кривой .

 Пример 24.2. Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами . Направление обхода контура положительное.

 Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L1 = x2 и

Криволинейные и поверхностные интегралы

Криволинейные интегралы

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: .

Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi:

 (24)

Если кривую L можно задать параметрически:

 x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T, 

то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой

   (25)

 В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:

у=φ(х), где х1 ≤ х ≤ х2, формула (40) преобразуется к виду:

 . (26)

Теперь умножим значение функции в точке Mi не на длину i-го отрезка, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi – xi-1 = Δxi.

Если существует конечный предел при  интегральной суммы , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

 . (27)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

 

Если вдоль кривой L определены функции

P(M)=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z),

которые можно считать компонентами некоторого вектора , и существуют интегралы

 ,

тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

 . Если кривая L задана параметрическими уравнениями

  x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, то

. (28)

Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода задается формулой Грина:

 (29)

где L – замкнутый контур, а D – область, ограниченная этим контуром.

Необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

 

от пути интегрирования являются:

 . (30)

 При выполнении условий (30) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

 

При этом функцию и можно найти по формуле

   (31)

где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная.

 Чтобы найти решения однородной системы, запишем сначала эквивалент­ную ей систему с матрицей :

 За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом верхнем углу мат­рицы , то есть минор, составленный из коэффициентов при неизвестных .Тогда, придавая оставшимся переменным  любые значе­ния, неизвестные  можно получить единственным образом. Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных пе­ременных, такие, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.

получим  и вектор решений . Затем, аналогично, взяв , получим .

 Общее решение однородной системы имеет вид , где  и - произвольные числа.