Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Пример Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку: Вычислим интеграл

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Используем следующую подстановку: Тогда интеграл (обозначим его как I ) равен Разделим числитель на знаменатель, выделив правильную рациональную дробь. Находим искомый интеграл:

13 Найти статические моменты относительно осей координат, центр тяжести и моменты инерции однородной пластинки, ограниченной линиями:

а) , , ;

б) , ;

в) , , , , ;

г) , , , , .

Задания для домашней работы

1 Вычислить , где  – область, ограниченная линиями   и  (область, не содержащая полюса).

2 Вычислить , где  – область, ограниченная линиями , , , .

3 Вычислить , где  – область, ограниченная линиями:

а) ; б) .

4 Вычислить , где  – область, ограниченная линиями , , , .

5 Вычислить , где  – трапеция : , , , .

6 С помощью двойного интеграла найти площадь области, ограниченной линиями , .

7 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

8 Вычислить площадь области : , .

9 Найти площадь области , , .

10 Вычислить площадь области , ограниченной кривой

.

11 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

а) , , ,  (, );

б) , , ;

в) конуса , отсекаемого плоскостями , , ;

г) конуса , отсекаемого цилиндром .

12 Найти массу плоской пластинки  с плотностью  и ограниченной линиями:

а) , , , , ,

б) , , , , ;

в) , , , , .

13 Найти статические моменты относительно осей координат, центр тяжести и моменты инерции однородной пластинки, ограниченной линиями:

а) , , , ;

б) , ;

в) , ;

г) , , , , .

 

Физические приложения двойных интегралов

Во втором задании требуется привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, выполнив последовательно поворот, а затем параллельный перенос координатных осей.

 Задача 2. Дано уравнение кривой второго порядка . Выполнив поворот и параллельный перенос координатных осей, получить каноническое уравнение кривой и построить ее в исходной системе координат.

 Решение. Выполняем поворот осей по формулам ; . Подставим эти выражения для  и  в исходное уравнение и выделим коэффициент при :